Алгебралык бөлчөктөр

Алгебралык бөлчөк деген эмне

Алгебралык бөлчөк — бул $\dfrac{A}{B}$ түрүндөгү туюнтма, мында $A$ жана $B$ — көп мүчөлөр, ал эми $B$ теңдештик түрүндө нөлгө барабар эмес. Мисалы:

$\frac{x+3}{x-5}, \qquad \frac{x^2-1}{x^2+4x+4}$

Кадимки сандык бөлчөк сыяктуу эле, алгебралык бөлчөк бөлүмү нөлгө айланганда аныкталбайт — бул учурга математикада жооп жок, туюнтма жөн гана «мааниге ээ болбойт».

Алгебралык бөлчөктөр менен иштөө кадимкилер менен иштөөгө дээрлик окшош: кошуу, кемитүү, көбөйтүү жана бөлүүнүн ошол эле эрежелери. Айырмасы — алымда жана бөлүмдө сандардын ордуна көп мүчөлөр турат, ошондуктан ар кандай амалдын алдында аларды адатта көбөйтүүчүлөргө ажыратуу керек.

МБМО: бөлчөк качан мааниге ээ болот

МБМО (мүмкүн болгон маанилердин облусу, ОДЗ) — бул туюнтма мааниге ээ болгон өзгөрмөнүн бардык маанилери. Бөлчөк үчүн бөлүмү нөлгө барабар болгон $x$тин маанилерин алып салуу керек.

Мисал. $\dfrac{x+2}{x^2-9}$ туюнтмасынын МБМОсун табалы.

Бөлүмүн нөлгө барабарлайбыз: $x^2 - 9 = 0$, башкача айтканда $x^2 = 9$, мындан $x = 3$ же $x = -3$.

Демек, туюнтма $x = 3$ жана $x = -3$тө мааниге ээ болбойт, ал эми МБМО — калган бардык сандар.

Алым МБМОго таасир этпейт: ал нөлгө барабар болушу мүмкүн, мында бөлчөк жөн гана нөлгө барабар болот (эгер бөлүмү нөл болбосо). Ал эми бөлүмдүн нөлгө барабар болушуна ар дайым тыюу салынган — мисал канчалык «кооз» чыкканына карабастан.

Эгер бөлүм квадраттык үч мүчө эмес, көбөйтүүчүлөрдүн көбөйтүндүсү болсо, ошондой эле аракеттенебиз: ар бир көбөйтүүчүнү өз-өзүнчө нөлгө барабарлайбыз. Мисалы, $\dfrac{1}{(x-1)(x+7)}$ үчүн тыюу салынган маанилер — $x=1$ жана $x=-7$.

Алгебралык бөлчөктөрдү кыскартуу

Бөлчөктү кыскартуу үчүн алымын жана бөлүмүн көбөйтүүчүлөргө ажыратып, бирдей көбөйтүүчүлөрдү алып салуу керек.

Мисал. $\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}$ бөлчөгүн кыскарталы.

Алымы: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ — квадраттардын айырмасы. Бөлүмү: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ — сумманын квадраты.

$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}, \qquad x \ne -2$

Маанилүү: бүт бөлчөктүн көбөйтүүчүлөрүн гана кыскартууга болот, алымдын же бөлүмдүн ичиндеги айрым кошулуучуларды эмес. Көп кездешүүчү ката — $\dfrac{x+2}{x}$ түрүндөгү туюнтмада $x$ти «кыскартуу»: андай кылууга болбойт, анткени $x$ бүтүндөй алымдын көбөйтүүчүсү эмес, анын кошулуучуларынын биринин гана көбөйтүүчүсү.

Көңүл бургула: кыскартуудан кийин МБМО өзгөрбөйт — $(x+2)$ көбөйтүүчүсү жооптон жоголсо да, $x=-2$ мааниси мурдагыдай эле тыюу салынган бойдон калат, анткени ага баштапкы бөлчөктө тыюу салынган.

Бөлүмдөрү ар башка бөлчөктөрдү кошуу жана кемитүү

Эгер бөлүмдөрү ар башка болсо, бөлчөктөрдү жалпы бөлүмгө келтирүү керек — адатта бул бөлүмдөрдүн көбөйтүндүсү (же алар жалпы көбөйтүүчүлөргө ажыраса, алардын ЭКЖЭси).

Мисал. $\dfrac{4}{x-2} - \dfrac{3}{x+2}$ кемитүүсүн аткаралы.

Жалпы бөлүм: $(x-2)(x+2) = x^2-4$.

$\frac{4(x+2) - 3(x-2)}{x^2-4} = \frac{4x+8-3x+6}{x^2-4} = \frac{x+14}{x^2-4}$

Кемитүүдө белгиден ката кетирүү өзгөчө оңой — экинчи алымдагы кашаалар бүт кашаанын алдындагы минус менен ачылат.

Бөлчөктөрдү көбөйтүү жана бөлүү

Көбөйтүү: алымдарды өз ара жана бөлүмдөрдү өз ара көбөйтөбүз, андан кийин кыскартабыз.

Бөлүү: бөлчөккө бөлүү — аны «оодарылган» түрүнө көбөйтүү менен бирдей (алым менен бөлүм орун алмашат).

Мисал. $\dfrac{x^2-9}{x+2} : \dfrac{x-3}{x+2}$ бөлүүсүн аткаралы.

$\frac{x^2-9}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-3} = x+3, \qquad x \ne -2,\ x\ne 3$

$(x+2)$ көбөйтүүчүсү толугу менен кыскарды, ал эми $(x-3)$ бөлүмдөгү бирдей көбөйтүүчү менен кыскарды.

Эки кабат бөлчөктөр (кыскача)

Эгер бөлчөк башка бөлчөктүн алымында же бөлүмүндө турса, аны эки кабат бөлчөк деп аташат. Жөнөкөйлөтүү үчүн адегенде алым менен бөлүмдүн ар бирин бирден бөлчөккө келтиришет, андан кийин бир бөлчөктү экинчисине бөлүшөт.

Мисал.

$\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}} = \frac{\dfrac{y+x}{xy}}{\dfrac{y-x}{xy}} = \frac{x+y}{xy}\cdot\frac{xy}{y-x} = \frac{x+y}{y-x}$

$xy$ бөлүмдөрү кыскарып, жөнөкөй бөлчөк калды.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда дээрлик ар бир вариантта «кайсы $x$те туюнтма мааниге ээ болбойт» деген суроо кездешет — талап кылынбаса, теңдемени толугу менен чыгарбагыла: бөлүмүн нөлгө барабарлап, тамырларын табуу жетиштүү. Жана бөлчөктү кыскарткандан кийин МБМОну ар дайым текшергиле: силер алып салган көбөйтүүчү баары бир тыюу салынган маанини берет.