Кыскача көбөйтүү формулалары

Кыскача көбөйтүү формулалары деген эмне

Кыскача көбөйтүү формулалары (ККФ) — бул кашааларды тез ачууга же, тескерисинче, туюнтманы бөлүштүрүү закону аркылуу «түз» ачпастан эле көбөйтүндүгө айландырууга мүмкүндүк берген теңдештиктер. Алар алгебрада ушунчалык көп кездешкендиктен, аларды көбөйтүү таблицасындай жатка билүү керек.

ЖРТда ККФ үч формада текшерилет: $(a\pm b)^2$ же $(a\pm b)^3$ түрүндөгү туюнтманы ачуу, формулалардын бирин «тескери багытта» колдонуп көп мүчөнү көбөйтүүчүлөргө ажыратуу жана $101^2$ же $49\cdot51$ сыяктуу сандык туюнтманы калькулятору жок тез эсептөө.

Сумманын квадраты жана айырманын квадраты

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Көп кездешүүчү ката. Көптөр $(a+b)^2 = a^2+b^2$ деп эсептешет. Бул туура эмес — $2ab$ кошулуучусу калып калган. Сандар менен текшерип көрөлү: $(2+3)^2 = 5^2 = 25$, ал эми $2^2+3^2 = 4+9=13$. $25$ жана $13$ сандары барабар эмес, демек $(a+b)^2=a^2+b^2$ формуласы — теңдештик эмес, тузак.

Квадраттардын айырмасы

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Бул — оң жагында «ортоңку» кошулуучусу жок жалгыз формула: $(a-b)(a+b) = a^2+ab-ab-b^2$ ачылганда $ab$ жана $-ab$ кошулуучулары өз ара жоюлат.

Сумманын кубу жана айырманын кубу (кыскача)

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Айырманын кубунун формуласында белгилер кезектешип келет: $+,\,-,\,+,\,-$.

Мисал. $11^3$ туюнтмасын $(10+1)^3$ түрүндө жазып эсептейли:

$11^3 = 10^3+3\cdot10^2\cdot1+3\cdot10\cdot1^2+1^3 = 1000+300+30+1=1331$

Кубдардын суммасы жана айырмасы (кыскача)

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Ыңгайлуу багыт: экинчи кашаадагы $ab$нын алдындагы белги ар дайым биринчи кашаадагы белгиге карама-каршы болот. Бул формулалар ЖРТда квадраттарга караганда сейрегирээк керектелет, бирок көбөйтүүчүлөргө ажыратуу боюнча тапшырмаларда кездешет.

Мисал. $x^3+8$ туюнтмасын ажыраталы. $8=2^3$ экенин байкайбыз, демек бул $a=x$, $b=2$ болгондогу кубдардын суммасы:

$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$

Тез эсептөө үчүн колдонуу

ЖРТда калькулятор колдонууга тыюу салынган, ошондуктан ККФ — оюңда эсептөөнүн ишенимдүү жолу.

1-мисал. $101^2$ туюнтмасын санды $(100+1)^2$ түрүндө жазып эсептейли:

$101^2 = 100^2 + 2\cdot100\cdot1+1^2 = 10000+200+1=10201$

2-мисал. $49\cdot51$ көбөйтүндүсүн $(50-1)(50+1)$ түрүндө жазып эсептейли:

$49\cdot51 = 50^2-1^2=2500-1=2499$

Байкагыла: $49\cdot51 = 2499$, $2500$ эмес — эки көбөйтүүчү тең $50$гө «жакын» болгондуктан, жооп $50^2$ менен дал келчүдөй сезилет. Жалпы орто мааниден бирдей алыстыкта турган эки сандын көбөйтүндүсү ар дайым ошол ортонун квадратынан бир аз кичине болот — четтөөнүн квадратынын чоңдугуна (биздин учурда $1^2=1$ге) айырмаланат.

Туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү

ККФ кашааларды толук ачпастан туюнтмаларды жөнөкөйлөтүүгө жардам берет.

Мисал. $(x+5)^2-(x-5)^2$ туюнтмасын жөнөкөйлөтөлү. Эки квадратты тең ачуунун ордуна квадраттардын айырмасын колдонобуз:

$(x+5)^2-(x-5)^2 = \big((x+5)-(x-5)\big)\big((x+5)+(x-5)\big) = 10\cdot 2x = 20x$

Ошондой эле көбөйтүүчүлөргө тез ажыратууга болот: мисалы, $9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x-4)(3x+4)$.

Дагы бир мисал. $(a+3)^2+(a-3)^2$ туюнтмасын жөнөкөйлөтөлү. Мында квадраттар кемитилбестен кошулат, ошондуктан квадраттардын айырмасы туура келбейт — эки квадратты тең түз ачабыз:

$(a+3)^2+(a-3)^2 = (a^2+6a+9)+(a^2-6a+9) = 2a^2+18$

$6a$ жана $-6a$ кошулуучулары жоюлат, ал эми $9$ квадраттары кошулат — акыркы туюнтма $3$ кошулуучусунун белгисине көз каранды эмес.

ЖРТ-кеңеш

Эгер маселеде сумманын же айырманын квадраты (кубу) же квадраттардын айырмасы кездешсе — кашааларды кошулуучуларды бирден көбөйтүп кол менен ачпагыла. Дароо кайсы формула туура келерин аныктап, $a$ менен $b$нин маанилерин койгула. Бул убакытты үнөмдөйт жана белгилерде ката кетирүү коркунучун азайтат. Жана ар дайым эстен чыгарбоо керек болгон башкы эреже: $(a+b)^2 \ne a^2+b^2$ — ортоңку мүчө $2ab$ эч жакка жоголбойт.