Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу

Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу эмне үчүн керек

Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу — бул туюнтманы көбөйтүндү түрүндө жазуу дегенди билдирет. Бул алгебрадагы эң пайдалуу амалдардын бири: ал бөлчөктөрдү кыскартууга, калькулятору жок тез эсептөөгө жана теңдемелерди чыгарууга жардам берет. Бир нече негизги ыкма бар.

Жалпы көбөйтүүчүнү кашаанын сыртына чыгаруу

Эгер ар бир кошулуучуда бирдей көбөйтүүчү болсо, аны кашаанын сыртына чыгарууга болот:

$ac + bc = c(a+b)$

Мисал. $15x^2y - 20xy^2$. $15$ жана $20$ коэффициенттеринин жалпы көбөйтүүчүсү — $5$, жалпы тамгалуу көбөйтүүчү — $xy$ (ар бир тамганын эң кичине даражасын алабыз). Демек:

$15x^2y - 20xy^2 = 5xy(3x - 4y)$

Топтоштуруу ыкмасы

Эгер бардык кошулуучулар үчүн жалпы көбөйтүүчү жок болсо, кошулуучуларды ар биринде өз жалпы көбөйтүүчүсү бар топторго бөлүүгө болот:

$ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)$

Мисал. $mx - my - nx + ny = (mx - my) - (nx - ny) = m(x-y) - n(x-y) = (x-y)(m-n)$.

Маанилүү: биринчи топтоштуруудан кийин кашаалардын ичинде бирдей туюнтма чыгышы керек — ошондо аны жалпы көбөйтүүчү катары кашаанын сыртына чыгарууга болот.

Кыскача көбөйтүү формулалары «тескери багытта»

Кыскача көбөйтүү формулалары тескери багытта да иштейт — даяр ажыратуу схемалары катары:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \quad \text{(квадраттардын айырмасы)}$

$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \quad \text{(сумманын/айырманын квадраты)}$

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Мисал. $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5)$.

Мисал. $x^2 - 10x + 25$: мында $x^2$ жана $5^2$ — квадраттар, ал эми $10x = 2 \cdot x \cdot 5$ — эки эселенген көбөйтүндү, демек бул айырманын квадраты: $(x-5)^2$.

Айкалышкан ыкмалар

Көбүнчө бир нече ыкманы удаа колдонуу керек болот. Ажыратууну ар дайым аягына чейин жеткиришет — кашааларда мындан ары ажырабай турган көбөйтүүчүлөр калганга чейин.

Мисал. $2x^3 - 8x$. Адегенде жалпы көбөйтүүчүнү чыгарабыз: $2x(x^2 - 4)$. Кашаанын ичинде — квадраттардын айырмасы: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Жыйынтык:

$2x^3 - 8x = 2x(x-2)(x+2)$

Калькулятору жок тез эсептөө

Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу — ЖРТда оозеки эсептөөнүн күчтүү ыкмасы. $37^2 - 27^2$ туюнтмасын эсептөө үчүн сандарды квадратка көтөрүүнүн кереги жок:

$37^2 - 27^2 = (37-27)(37+27) = 10 \cdot 64 = 640$

Ошентип «түз» эсептегенде бир мүнөт кетчү нерсе бир нече секундда эсептелет.

Алгебралык бөлчөктөрдү кыскартуу

Бөлчөктү алымы менен бөлүмүнүн жалпы көбөйтүүчүсүнө гана кыскартууга болот — ошондуктан адегенде экөөнү тең көбөйтүүчүлөргө ажыратышат.

Мисал. $\dfrac{x^2 - 49}{x^2 + 7x}$ бөлчөгүн кыскарткыла.

Алымы — квадраттардын айырмасы: $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$. Бөлүмү: $x^2 + 7x = x(x+7)$. Жалпы көбөйтүүчү $(x+7)$ге кыскартабыз:

$\frac{(x-7)(x+7)}{x(x+7)} = \frac{x-7}{x}, \qquad x \neq 0, -7$

ЖРТ-кеңеш

Экзаменде калькулятор колдонууга болбойт, ошондуктан $a^2 - b^2$ түрүндөгү туюнтманы (мааниси жакын сандардын квадраттарынын айырмасын) көргөндө, аны дароо $(a-b)(a+b)$ түрүнө ажыраткыла — бул татаал квадратка көтөрүүнү жеңил көбөйтүүгө айландырат. Жана ажыратуу аягына чейин жеткирилгенин ар дайым текшергиле: эгер кашааларда $a^2-b^2$ түрүндөгү квадраттардын айырмасы же суммасы калса, аны да ажыратуу керек.