Квадраттык функция жана парабола

Квадраттык функция деген эмне

Квадраттык функция — бул төмөнкү түрдөгү функция

$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0,$

мында $a$, $b$, $c$ — берилген сандар (коэффициенттер). $a \neq 0$ шарты милдеттүү: эгер $a = 0$ болсо, функция сызыктуу болуп калат.

Квадраттык функциянын графиги ар дайым парабола болот.

Бутактардын багыты

Параболанын бутактарынын багыты $a$ коэффициентинин белгиси менен аныкталат:

• Эгер $a > 0$ болсо — бутактары өйдө багытталган.
• Эгер $a < 0$ болсо — бутактары ылдый багытталган.

Муну график түзбөй эле дароо аныктоого болот.

Параболанын чокусу

Чоку — параболанын эң төмөнкү чекити (бутактары өйдө болсо) же эң жогорку чекити (бутактары ылдый болсо). Анын абсциссасы төмөнкү формула менен табылат:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

ал эми ординатасы — $x_0$ду функциянын өзүнө коюу менен: $y_0 = f(x_0)$.

$x = x_0$ түз сызыгы — параболанын симметрия огу: анын эки бутагы бул түз сызыкка карата бири-бирин күзгүдөй кайталайт.

Мисал. $y = x^2 - 4x + 3$ үчүн: $a = 1 > 0$, бутактары өйдө. Чокусу:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_0 = 2^2 - 4\cdot2 + 3 = -1$

Чокусу — $(2; -1)$ чекити.

Функциянын нөлдөрү жана теңдеменин тамырлары

Функциянын нөлдөрү — бул $y = 0$ болгон $x$тин маанилери, башкача айтканда параболанын $Ox$ огун кесип өткөн чекиттери. Аларды табуу үчүн $ax^2+bx+c=0$ квадраттык теңдемесин $D=b^2-4ac$ дискриминанты аркылуу чечишет:

• $D > 0$ — парабола $Ox$ огун эки чекитте кесип өтөт (эки нөл).
• $D = 0$ — парабола $Ox$ огуна бир чекитте тиет (бир нөл — бул чокунун өзү).
• $D < 0$ — парабола $Ox$ огун кесип өтпөйт (нөлдөрү жок).

Мисал. $y = x^2 - 4x + 3$ үчүн: $x^2-4x+3=0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x_1=1,\ x_2=3$. Булар функциянын нөлдөрү — парабола $Ox$ огун $1$ жана $3$ чекиттеринде кесип өтөт.

Эң чоң жана эң кичине маани

Чоку — параболанын четки чекити болгондуктан, чокудагы $y_0$ мааниси:

• эгер $a > 0$ болсо — функциянын эң кичине мааниси (бутактары өйдө, максимуму жок — функция чексиз өсөт);
• эгер $a < 0$ болсо — функциянын эң чоң мааниси (бутактары ылдый, минимуму жок).

Мисал. $y = -x^2+2x+3$ үчүн: $a=-1<0$, демек эң чоң мааниси бар. Чокусу: $x_0 = -\dfrac{2}{2\cdot(-1)} = 1$, $y_0 = -1+2+3=4$. Функциянын эң чоң мааниси $4$кө барабар ($x=1$ болгондо).

$Oy$ огу менен кесилиши

$x=0$ болгондо $y = a\cdot0+b\cdot0+c = c$ болот. Демек, парабола $Oy$ огун ар дайым $(0; c)$ чекитинде кесип өтөт — бул графиктин эң жөнөкөй чекити, аны функциянын формуласынан эле дароо көрүүгө болот.

Мисал. $y=-x^2+2x+3$ үчүн $Oy$ огу менен кесилишкен чекит — $(0;3)$, анткени $c=3$.

ЖРТ-кеңеш

Параболаны график түзбөй тез сүрөттөө үчүн $y=ax^2+bx+c$ формуласы боюнча үч нерсени иреттүү текшергиле:

1. $a$нын белгиси — бутактардын багыты (өйдө/ылдый) жана эң чоң же эң кичине маани барбы.
2. $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ жана $y_0=f(x_0)$ — чоку жана дал ошол эң чоң/эң кичине маани.
3. $c$ — $Oy$ огу менен кесилишкен чекит, эсептөөсүз эле даяр.

Эгер ЖРТдагы маселеде функциянын так эң чоң же эң кичине мааниси суралса — функциянын нөлдөрүн издебегиле, дароо чоку аркылуу $y_0$ду эсептегиле: бул ылдамыраак жана түз жоопту берет.