Логарифм жана анын касиеттери

Логарифм деген эмне

$b$ санынын $a$ негизи боюнча логарифми — бул $b$ санын алуу үчүн $a$ санын көтөрүү керек болгон даражанын көрсөткүчү:

$\log_a b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b$

Бул жерде $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$ — логарифмдин мүмкүн болгон маанилердин облусу (МБМО, ОДЗ). Негиз терс, бирге барабар же нөл боло албайт, ал эми логарифмдин астындагы сан (аны логарифмделүүчү туюнтма деп аташат) — оң гана болушу керек.

Жөнөкөй айтканда, логарифм мына бул суроого жооп берет: «Бул санды алуу үчүн негизди кайсы даражага көтөрүү керек?»

Мисал. $\log_2 8 = 3$, анткени $2^3 = 8$.

Өзгөчө учурду өзүнчө белгилешет — ондук логарифм $\lg b = \log_{10} b$ ($10$ негизи). Ал ЖРТнын маселелеринде көп кездешет, анткени ондун даражалары аркылуу оңой эсептелет.

Жөнөкөй касиеттер

Аныктамадан жатка билүү керек болгон эки барабардык түздөн-түз келип чыгат:

$\log_a a = 1 \qquad (\text{анткени } a^1 = a)$

$\log_a 1 = 0 \qquad (\text{анткени } a^0 = 1)$

Дагы бир негизги барабардык — негизги логарифмалык окшоштук. Эгерде адегенде санды $a$ негизи боюнча логарифмдеп, андан кийин $a$ санын чыккан даражага көтөрсөк, баштапкы санга кайтып келебиз:

$a^{\log_a b} = b$

Бул окшоштуктун пайдасы — ал логарифмди өзүнчө эсептебей эле туюнтманы заматта жөнөкөйлөтүүгө мүмкүндүк берет.

Логарифмдин касиеттери

Логарифм көбөйтүүнү кошууга, бөлүүнү кемитүүгө, ал эми даражага көтөрүүнү көбөйтүүгө айландырат:

Көбөйтүндүнүн логарифми: $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$

Тийиндинин логарифми: $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

Даражанын логарифми: $\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x$

Бул касиеттер $x > 0$ жана $y > 0$ болгондо гана иштейт — логарифмдин ичинде терс сан же нөл боло албайт.

Эсептөө мисалдары

1-мисал. $\log_2 8$ эсептейли. Сурайбыз: «$2$ кайсы даражада $8$ди берет?» $2^3 = 8$ болгондуктан, $\log_2 8 = 3$ алабыз.

2-мисал. $\log_3 \frac{1}{9}$ эсептейли. $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ экенин байкайбыз, демек $\log_3 \frac{1}{9} = -2$.

3-мисал. $\lg 100$ эсептейли. Бул $\log_{10} 100$, ал эми $100 = 10^2$, демек $\lg 100 = 2$.

4-мисал. $\log_5 (25 \cdot 5^3)$ туюнтмасын көбөйтүндүнүн логарифминин касиети аркылуу жөнөкөйлөтөбүз: $\log_5 (25 \cdot 5^3) = \log_5 25 + \log_5 5^3 = 2 + 3 = 5$

5-мисал. $\log_2 \frac{64}{8}$ маанисин эки жол менен табабыз — жана жооп бирдей экенине ынанабыз. 1-жол: адегенде тийиндини эсептейбиз, $\frac{64}{8} = 8$, демек $\log_2 8 = 3$. 2-жол: сандарды бөлбөй эле тийиндинин логарифминин касиетин дароо колдонобуз: $\log_2 64 - \log_2 8 = 6 - 3 = 3$. Эки жол тең $3$тү берет — ЖРТда конкреттүү маселеде кайсынысы тезирээк эсептелсе, ошону тандагыла.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда калькулятор колдонууга болбойт, ошондуктан тесттеги бардык логарифмдер — «жакшынакай»: экинин, үчтүн, бештин, ондун даражалары. Логарифмди эсептөөнүн эң тез жолу — өзүңөргө бир суроо бергиле: «Логарифмдин астындагы санды алуу үчүн негизди кайсы даражага көтөрүү керек?»

Даражалардын кичинекей таблицасын эсиңерде тутуп жүргүлө: $2^1{=}2,\ 2^2{=}4,\ 2^3{=}8,\ 2^4{=}16,\ 2^5{=}32$; $3^1{=}3,\ 3^2{=}9,\ 3^3{=}27,\ 3^4{=}81$; $10^1{=}10,\ 10^2{=}100,\ 10^3{=}1000$. Ошондо $\log_2 32$, $\log_3 81$ же $\lg 1000$ заматта эсептелет — формуласыз эле, даражаны тандап табуу менен.

Эгерде логарифмдин астындагы сан — бөлчөк болсо, терс даражаны издегиле: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$, демек $\log_5 \frac{1}{25} = -2$. Ал эми $a^{\log_a b}$ түрүндөгү негизги окшоштукту көрсөңөр — логарифмди өзүнчө эсептебей, дароо $b$ жообун жазгыла: бул экзаменде баалуу секундаларды үнөмдөйт.