Логарифмалык теңдемелер

Логарифмдин аныктамасы боюнча теңдемелер

Эң жөнөкөй логарифмалык теңдеме $\log_a x = b$ түрүндө болот, мында $a > 0$, $a \neq 1$. Логарифмдин аныктамасы боюнча бул теңдеме төмөнкү барабардыкка барабар күчтө:

$x = a^b$

Мисал. $\log_2 x = 3$ теңдемесин чечели. Аныктама боюнча $x = 2^3 = 8$.

Эгерде логарифмдин белгисинин астында жөн эле $x$ эмес, туюнтма турса, схема ошол эле: адегенде теңдемени $\log_a(\ldots) = b$ түрүнө келтиребиз, андан кийин аныктама боюнча логарифмди алып салып, кадимки теңдемени чечебиз. Андан кийин табылган маани чын эле мүмкүн болгон маанилердин облусуна (МБМО, ОДЗ) киргенин текшерүүнү унутпагыла — логарифмдин астындагы туюнтма оң болушу керек.

Негиздери бирдей логарифмдердин барабардыгы

Эгерде $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ болсо, анда логарифмалык функция катуу монотондуу болгондуктан (демек, ар бир маанини бир гана жолу кабыл алат), бул төмөнкү системага барабар күчтө:

$f(x) = g(x), \qquad f(x) > 0$

Көңүл бургула: эки жактын бирөөсүнүн гана оң экенин текшерүү жетиштүү — эгерде $f(x) = g(x)$ болуп, алардын бири оң болсо, экинчиси да автоматтык түрдө оң болот. Бирок МБМОну текшерүү — милдеттүү кадам, ансыз бөтөн тамыр алып калуу оңой.

Мисал. $\log_5(x^2 - 4x - 5) = \log_5(2x - 5)$ теңдемесин чечели.

1. Логарифмдерди алып салабыз: $x^2 - 4x - 5 = 2x - 5$.
2. Баарын бир тарапка которобуз: $x^2 - 6x = 0$, мындан $x(x-6) = 0$, башкача айтканда $x = 0$ же $x = 6$.
3. МБМОну текшеребиз: $2x - 5 > 0$ болушу керек, башкача айтканда $x > 2{,}5$.
   • $x = 0$: $x > 2{,}5$ шартын канааттандырбайт — бөтөн тамыр, четке кагабыз.
   • $x = 6$: шартты канааттандырат — жарайт.

Жооп: $x = 6$.

Эгерде МБМОну текшербесек, эки тамырды жазмакпыз — жана алардын бири туура эмес жооп болуп калмак.

Логарифмдин касиеттери менен чечилүүчү эң жөнөкөй теңдемелер

Көбүнчө теңдемени адегенде логарифмдин касиеттеринин жардамы менен жөнөкөйлөтүп, андан кийин гана эң жөнөкөй түргө келтирүү керек. Бул жерде керектүү негизги касиет: негиздери бирдей логарифмдердин суммасы көбөйтүндүнүн логарифмине барабар:

$\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a\bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr)$

Мисал. $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$ теңдемесин чечели.

1. Логарифмдердин суммасын көбөйтүндүнүн логарифмине айландырабыз: $\log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr) = 3$.
2. Логарифмдин аныктамасы боюнча: $(x-1)(x+1) = 2^3 = 8$, башкача айтканда $x^2 - 1 = 8$, мындан $x^2 = 9$, демек $x = 3$ же $x = -3$.
3. МБМОну текшеребиз: $x - 1 > 0$ жана $x + 1 > 0$ болушу керек, башкача айтканда $x > 1$.
   • $x = 3$: $x > 1$ шартын канааттандырат — жарайт.
   • $x = -3$: канааттандырбайт — бөтөн тамыр, четке кагабыз.

Жооп: $x = 3$.

Логарифмдердин айырмасынын касиети да ушуга окшош иштейт: $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \log_a\dfrac{f(x)}{g(x)}$ — ал да теңдемени эң жөнөкөй түргө келтирет, бирок эки туюнтмага тең МБМОну талап кылат: $f(x) > 0$ жана $g(x) > 0$.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда калькулятор жок, ошондуктан маселелердеги бардык сандар логарифмдерди жыйнагандан кийин "жакшынакай" теңдеме (сызыктуу же көбөйтүүчүлөргө оңой ажыраган квадраттык) чыгачудай кылып тандалган. Эгерде жөнөкөйлөтүүдөн кийин "жакшынакай" бүтүн сан болбогон тамыр чыкса — кыязы, маселенин өзүндө эмес, эсептөөлөрдө кайсы бир жерде ката кетирилген. Жана эң башкы эреже: тамырды МБМОго коюп текшербей туруп, эч качан жооп бербегиле — учурлардын жарымында түзүүчүлөр теңдемени жөн гана чечкендерди аны туура чечкендерден айырмалоо үчүн теңдемеге атайын бөтөн тамыр киргизишет.