Көрсөткүчтүү туюнтмалар жана теңдемелер

Кайталоо: даражанын касиеттери

Көрсөткүчтүү теңдемелерди чечүүдөн мурун даражанын негизги касиеттерин эстеп алалы — алар ар бир кадамда керек болот:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — негиздери бирдей даражаларды көбөйткөндө көрсөткүчтөр кошулат.
• $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — бөлгөндө көрсөткүчтөр кемитилет.
• $(a^m)^n = a^{mn}$ — даражаны даражага көтөргөндө көрсөткүчтөр көбөйтүлөт.
• $a^0 = 1$ ($a \neq 0$ болгондо), $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

Бул эрежелер ар кандай негиздерди ($4$, $8$, $9$, $27$ ж.б.) бир эле жөнөкөй сандын даражасына айландырууга мүмкүндүк берет.

Бир негизге келтирүү

Көрсөткүчтүү теңдеме — бул белгисиз даражанын көрсөткүчүндө турган теңдеме. Чечүүнүн эң жөнөкөй жолу — эки жагын тең бирдей негизге келтирүү.

Эгерде $a > 0$, $a \neq 1$ болсо, анда $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ теңдемеси көрсөткүчтөрдүн теңдемесине барабар күчтө:

$f(x) = g(x)$

Бул бүткүл теманын негизги идеясы: негиздер барабар болгондуктан, көрсөткүчтөрдү барабарлайбыз.

1-мисал. $2^x = 8$ теңдемесин чечкиле.

$8 = 2^3$ экенин байкайбыз. Теңдеме $2^x = 2^3$ түрүнө келет, демек $x = 3$.

2-мисал. $3^{x+1} = 27$ теңдемесин чечкиле.

$27 = 3^3$ болгондуктан, $3^{x+1} = 3^3$ алабыз, мындан $x + 1 = 3$, башкача айтканда $x = 2$.

3-мисал. $4^x = 2^{x+2}$ теңдемесин чечкиле.

Бул жерде негиздер ар башка ($4$ жана $2$), бирок $4 = 2^2$. Сол жагын кайра жазабыз: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$. Теңдеме төмөнкү түргө келет:

$2^{2x} = 2^{x+2}$

Көрсөткүчтөрдү барабарлайбыз: $2x = x + 2$, мындан $x = 2$.

Маанилүү: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ теңдемесинен $f(x) = g(x)$ теңдемесине өтүүгө негиз $a > 0$ жана $a \neq 1$ болгондо гана болот — бул шарттар ЖРТнын маселелеринде дээрлик ар дайым аткарылат, аларды өзүнчө текшерүүнүн кереги жок.

Жөнөкөй көрсөткүчтүү барабарсыздыктар

Көрсөткүчтүү функция $y = a^x$ монотондуу: $a > 1$ болгондо өсөт, ал эми $0 < a < 1$ болгондо кемийт. Көрсөткүчтөргө өткөндө барабарсыздыктын белгиси сакталабы же жокпу — ушул аныктайт.

• Эгерде $a > 1$ болсо: $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ барабарсыздыгынан $f(x) > g(x)$ келип чыгат (белги сакталат).
• Эгерде $0 < a < 1$ болсо: $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ барабарсыздыгынан $f(x) < g(x)$ келип чыгат (белги карама-каршысына өзгөрөт).

4-мисал. $2^x > 16$ барабарсыздыгын чечкиле.

$16 = 2^4$, негиз $2 > 1$, демек белги сакталат: $2^x > 2^4 \Rightarrow x > 4$.

Көрсөткүчтүү туюнтмаларды эсептебей салыштыруу

ЖРТда калькулятор колдонууга болбойт, ошондуктан чоң даражаларды алардын так маанисин эсептебей салыштыруу керек — бир негизге же бир көрсөткүчкө келтирүү жетиштүү.

5-мисал. $2^{20}$ менен $4^{9}$ салыштыргыла.

$2$ негизине келтиребиз: $4^9 = (2^2)^9 = 2^{18}$. Бирдей $2 > 1$ негизиндеги көрсөткүчтөрдү салыштыруу гана калды: $20 > 18$ болгондуктан, $2^{20} > 2^{18}$, демек $2^{20} > 4^9$.

6-мисал. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$ менен $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$ салыштыргыла.

Негиз $\dfrac{1}{2}$ бирден кичине, ошондуктан функция кемийт: көрсөткүч канчалык чоң болсо, маани ошончолук кичине. $5 > 3$ болгондуктан, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$ алабыз.

ЖРТ-кеңеш

Чоң даражаларды түз эсептөөгө аракет кылбагыла — жалпы негизди издегиле (адатта бул жөнөкөй сан: $2, 3, 5$) жана көрсөткүчтөрдү гана салыштыргыла. Жана ар дайым адегенде негиз бирден чоңбу же кичинеби — текшергиле: барабарсыздыктын белгиси сакталабы же карама-каршысына өзгөрөбү, ушундан көз каранды.