Сандык барабарсыздыктар жана баалоо

Сандык барабарсыздык деген эмне

Сандык барабарсыздык — бул эки сандын кайсынысы чоң экенин көрсөткөн $a < b$, $a > b$, $a \le b$ же $a \ge b$ түрүндөгү жазуу. ЖРТда сандарды көбүнчө калькулятору жок салыштыруу керек, ошондуктан бир нече тез ыкманы билүү маанилүү.

Сандарды салыштыруунун үч ыкмасы

1. Жалпы түргө келтирүү. Бөлчөктөрдү салыштыруу үчүн аларды жалпы бөлүмгө (же жалпы алымга) келтиребиз.

Мисал. $\frac{7}{8}$ менен $\frac{8}{9}$ду салыштыралы. Жалпы бөлүм $72$: $\frac{7}{8} = \frac{63}{72}$, $\frac{8}{9} = \frac{64}{72}$. $63 < 64$ болгондуктан, $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$ чыгат.

2. Кемитүү. $a - b$ айырмасынын белгисин табабыз: эгер $a - b > 0$ болсо, анда $a > b$; эгер $a - b < 0$ болсо, анда $a < b$.

Мисал. $\frac{3}{4}$ менен $\frac{7}{9}$ду салыштыралы. Айырмасы: $\frac{3}{4} - \frac{7}{9} = \frac{27 - 28}{36} = -\frac{1}{36} < 0$. Демек, $\frac{3}{4} < \frac{7}{9}$.

3. Квадратка көтөрүү. Бул ыкма эки жагы тең терс эмес болгондо гана иштейт: анда $a^2 < b^2$ болгондон $a < b$ келип чыгат. Ыкма тамырларды салыштырууга ыңгайлуу.

Мисал. $\sqrt{48}$ менен $7$ни салыштыралы. Эки сан тең оң, квадратка көтөрөбүз: $48$ жана $49$. $48 < 49$ болгондуктан, $\sqrt{48} < 7$ чыгат.

Татаалыраак мисал: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ менен $\sqrt{10}$ду салыштыралы. Эки (оң!) жагын тең квадратка көтөрөбүз:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}, \qquad (\sqrt{10})^2 = 10$

Эми $2\sqrt{6}$ менен $5$ти салыштыруу калды. Дагы квадратка көтөрөбүз (экөө тең оң): $4 \cdot 6 = 24$ жана $25$. $24 < 25$ болгондуктан, $2\sqrt{6} < 5$, демек $5 + 2\sqrt{6} < 10$, ошондуктан $\sqrt{2}+\sqrt{3} < \sqrt{10}$.

Маанилүү: барабарсыздыктын жок дегенде бир жагы терс болсо, эки жагын тең квадратка көтөрүүгө болбойт — белги бузулушу мүмкүн. Мисалы, $-5 < 2$, бирок $(-5)^2 = 25 > 2^2 = 4$.

Сумманы, айырманы жана көбөйтүндүнү баалоо

Эгер эки сандын чектери белгилүү болсо, так маанилерин билбей туруп эле алар менен түзүлгөн туюнтмалардын чектерин баалоого болот.

$2 \le a \le 3$ жана $1 \le b \le 4$ болсун (эки сан тең оң). Анда:

• Сумма: кичине чектерди өз-өзүнчө жана чоң чектерди өз-өзүнчө кошобуз: $2+1 \le a+b \le 3+4$, башкача айтканда $3 \le a+b \le 7$.
• Айырма: $a$нын кичине чегинен $b$нин чоң чегин кемитебиз, ал эми $a$нын чоң чегинен — $b$нин кичине чегин: $2-4 \le a-b \le 3-1$, башкача айтканда $-2 \le a-b \le 2$.
• Көбөйтүндү: эки сан тең оң болгондуктан, кичине чектерди өз ара жана чоң чектерди өз ара көбөйтөбүз: $2 \cdot 1 \le ab \le 3 \cdot 4$, башкача айтканда $2 \le ab \le 12$.

ЖРТ-кеңеш: айырма үчүн четки маанилерди ар дайым «кайчылаш» алгыла (мин минус макс, макс минус мин) — чектерди түз эле кемитүү ($3-1$ жана $2-4$ катары менен) туура эмес жооп берет.

Туура барабарсыздыктардын касиеттери

Бул касиеттер так сандарды билбей туруп барабарсыздыктар менен иштөөгө мүмкүндүк берет:

• Сан кошуу: барабарсыздыктын эки жагына тең бирдей санды кошууга болот, белги өзгөрбөйт: эгер $a < b$ болсо, анда каалаган $c$ үчүн $a+c < b+c$.
• Оң санга көбөйтүү: белги сакталат: эгер $a < b$ жана $c > 0$ болсо, анда $ac < bc$.
• Терс санга көбөйтүү: белги карама-каршысына өзгөрөт: эгер $a < b$ жана $c < 0$ болсо, анда $ac > bc$.
• Бирдей белгидеги барабарсыздыктарды кошуу: эгер $a < b$ жана $c < d$ болсо, анда $a+c < b+d$.
• Бирдей белгидеги барабарсыздыктарды көбөйтүү (оң бөлүктөр менен): эгер $0 < a < b$ жана $0 < c < d$ болсо, анда $ac < bd$.

Бирдей белгидеги барабарсыздыктарды мүчөлөп кемитүүгө же бөлүүгө болбойт — бул көп кездешкен ката. Мисалы, $3 < 5$ жана $1 < 4$тен $3-1 < 5-4$ деп алууга болбойт (бул туура эмес: $2 > 1$).

ЖРТ-кеңеш

• Бөлчөктөрдү салыштырууда эң тез иштеген ыкма — «кайчылаш» эрежеси: $\frac{a}{b}$ менен $\frac{c}{d}$ (бөлүмдөрү оң болгондо) $a \cdot d$ жана $c \cdot b$ катары салыштырылат — жалпы бөлүмдү толугу менен издөөнүн кереги жок.
• Тамырларды салыштыруу үчүн квадратка көтөрүүнү эки жагы тең оң экенине ишенгенде гана колдонгула — адегенде белгини текшергиле.
• Сумманы/айырманы/көбөйтүндүнү баалоо маселелеринде ар дайым дал четки маанилерди коюп көргүлө, «орточо» маанилерди эмес — жооп дээрлик ар дайым диапазондун четтеринде жетишилет.