Квадраттык барабарсыздыктар жана интервалдар методу

Квадраттык барабарсыздык деген эмне

Квадраттык барабарсыздык — бул төмөнкү түрдөгү барабарсыздык:

$ax^2+bx+c>0 \quad (\text{же } <0,\ \ge0,\ \le0), \qquad a\neq 0.$

Барабарсыздыкты чечүү — бул $ax^2+bx+c$ туюнтмасы керектүү белгиге ээ болгон $x$тин бардык маанилерин табуу дегенди билдирет. Жооп адатта аралыктардын биримдиги түрүндө жазылат.

Парабола жана белгилер

$y=ax^2+bx+c$ функциясынын графиги — парабола. Парабола $Ox$ огун кескен жерлерде $ax^2+bx+c=0$ теңдемесинин тамырлары жайгашат. $a$ коэффициентинин белгиси бутактардын багытын аныктайт:

• эгер $a>0$ болсо — бутактары өйдө карайт, парабола тамырлардын ортосунда терс, ал эми тамырлардын сыртында оң болот;
• эгер $a<0$ болсо — бутактары ылдый карайт, баары тескерисинче: тамырлардын ортосунда парабола оң, сыртында — терс.

Демек, барабарсыздыкты чечүү үчүн тамырларды таап, кайсы аралыктар керектүү белгиге туура келерин аныктоо жетиштүү.

Интервалдар методу

$(x-a)(x-b)>0$ жана ушул сыяктуу барабарсыздыктар үчүн иш-аракеттердин тартиби:

1. Баарын бир жакка которгула, оң жагында $0$ калсын.
2. Эгер улуу коэффициент терс болсо, эки жагын тең $-1$ге көбөйтүп, барабарсыздыктын белгисин өзгөрткүлө.
3. Сол жагын көбөйтүүчүлөргө ажыратып, $x_1<x_2$ тамырларын тапкыла.
4. Тамырларды сан огунда белгилегиле — ал үч аралыкка бөлүнөт.
5. Эми бутактар өйдө багытталгандыктан (нормалоодон кийин $a>0$), аралыктардын белгилери кезектешет: солдон оңго карай плюс, минус, плюс.

Мисалы, $(x-a)(x-b)>0$ үчүн $a<b$ болгондо белгилер $+,-,+$ чыгат, ошондуктан чечим — $x<a$ же $x>b$. Ал эми $(x-a)(x-b)<0$ үчүн жооп — $a<x<b$, башкача айтканда тамырлардын ортосу. Мындай ыкма интервалдар методу деп аталат: ал толук график тургузуудан ылдамыраак иштейт, ошондуктан ар бир тапшырмага аз убакыт берилген экзаменде ыңгайлуу.

$D<0$ болгон учурлар

Эгер $D=b^2-4ac$ дискриминанты терс болсо, $ax^2+bx+c=0$ теңдемесинин чыныгы тамырлары жок — парабола $Ox$ огун кесип өтпөйт жана толугу менен анын бир тарабында жатат. Анда туюнтманын белгиси каалаган $x$те $a$нын белгиси менен дал келет:

• $a>0$ болгондо туюнтма ар дайым оң: «$>0$» барабарсыздыгы каалаган $x$ үчүн туура (бүт сан огу), ал эми «$<0$» барабарсыздыгынын чечими жок;
• $a<0$ болгондо — тескерисинче, туюнтма ар дайым терс.

Мисалдар

1-мисал. $x^2-7x+10>0$ барабарсыздыгын чечели. Ажыратабыз: $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, тамырлары $2$ жана $5$. Бутактары өйдө, белгилери $+,-,+$. Жооп: $x<2$ же $x>5$.

2-мисал. $-x^2+3x+4\ge0$ барабарсыздыгын чечели. $-1$ге көбөйтүп, белгини өзгөртөбүз: $x^2-3x-4\le0$, башкача айтканда $(x-4)(x+1)\le0$. Тамырлары $-1$ жана $4$, белгилери $+,-,+$, минус керек (катуу эмес) — тамырлардын ортосу. Жооп: $-1\le x\le4$.

3-мисал. $x^2+4x+8>0$ барабарсыздыгын чечели. Дискриминант $D=16-32=-16<0$, $a=1>0$, демек туюнтма ар дайым оң. Жооп: каалаган $x$ (бүт сан огу).

Кесиндидеги бүтүн чечимдер

Көп учурда маселеде аралыкты жазуу эмес, берилген кесиндиге таандык бүтүн чечимдердин санын эсептөө талап кылынат. Бул үчүн барабарсыздыкты кадимки жол менен чечип, алынган аралыкты көрсөтүлгөн кесинди менен кесилиштирип, ичиндеги бүтүн сандарды санашат.

Мисал. $x^2-6x+5\le0$ барабарсыздыгынын канча бүтүн чечими $[0;10]$ кесиндисинде жатат? Тамырлары: $(x-1)(x-5)\le0$, демек $1\le x\le5$. $[0;10]$ менен кесилишүү ошол эле $[1;5]$ аралыгын берет. Андагы бүтүн сандар: $1,2,3,4,5$ — бардыгы 5 чечим. Эгер кесинди, мисалы, $[3;10]$ болгондо, $[1;5]$ менен кесилишүү $[3;5]$ берип, бүтүн чечимдер үчөө эле болмок: $3,4,5$. Ошондуктан кесиндинин чектерин ар дайым өзүнчө эске алуу керек, жөн гана баштапкы барабарсыздыктын тамырларын санап койбош керек.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда убакыт баарынан кымбат, ошондуктан барабарсыздыкты дароо улуу коэффициенти $a>0$ болгон түргө келтиргиле (керек болсо $-1$ге көбөйтүп, белгини өзгөртүүнү унутпагыла) — анда белгилердин схемасы ар дайым бирдей болот: тамырлардан солдон оңго карай «плюс, минус, плюс». Жоопту тандаардан мурун дискриминантты текшергиле: эгер $D<0$ болсо, тамырлар такыр жок, көбөйтүүчүлөргө ажыратууга убакыт коротуунун кереги жок — дароо $a$нын белгисин карагыла. Жана ар дайым барабарсыздыктын катуулугун жооптогу кашаалар менен салыштыргыла: катуу барабарсыздык тегерек кашааларды берет (тамырлар кирбейт), катуу эмеси — чарчы кашааларды.