Сызыктуу барабарсыздыктар

Сызыктуу барабарсыздык деген эмне

Сызыктуу барабарсыздык — бул $ax + b > cx + d$ (же $<, \ge, \le$) түрүндөгү барабарсыздык, мында $x$ өзгөрмөсү биринчи даражада гана кирет. Барабарсыздыкты чечүү — бул ал туура болгон $x$тин бардык маанилерин табуу дегенди билдирет. Теңдемеден айырмаланып, жооп адатта бир сан эмес, сандардын бүтүндөй аралыгы болот.

Барабарсыздыктардын касиеттери: ЖРТдагы негизги тузак

Барабарсыздыктар дээрлик теңдемелердей эле түрлөнөт, бирок бир өтө маанилүү өзгөчөлүгү бар:

• Барабарсыздыктын эки жагына тең бирдей санды кошууга (же кемитүүгө) болот — барабарсыздыктын белгиси өзгөрбөйт.
• Эки жагын тең оң санга көбөйтүүгө же бөлүүгө болот — белги өзгөрбөйт.
• Эгерде эки жагын тең терс санга көбөйтсө же бөлсө, барабарсыздыктын белгиси карама-каршысына өзгөрөт!

Мисал. $3 < 5$ туура барабарсыздыгын алалы. Эки жагын тең $-2$ге көбөйтөбүз: $-6$ жана $-10$ чыгат. Бирок $-6 > -10$, ал эми $-6 < -10$ эмес. Демек, белгини өзгөртүүгө туура келди: $-6 > -10$.

Бул эреже — ЖРТдагы каталардын көпчүлүгүнүн булагы. Барабарсыздыкты санга бөлгөн же көбөйткөн сайын өзүңөрдөн сурагыла: «бул сан терспи?» — эгер ооба болсо, белгини тескери бургула.

$ax+b > cx+d$ түрүндөгү барабарсыздыкты чечүү

Алгоритм сызыктуу теңдемени чечкендегидей эле: $x$и бар кошулуучуларды бир жакка, сандарды экинчи жакка которобуз, андан кийин бөлөбүз.

Мисал. $-3x + 1 > 10$ барабарсыздыгын чечели.

$-3x > 10 - 1 = 9$

Эки жагын тең $-3$кө бөлөбүз — сан терс, ошондуктан белги өзгөрөт:

$x < -3$

Текшерүү: $x=-4$ болгондо $-3\cdot(-4)+1 = 13 > 10$ — туура. $x=-3$ болгондо $10 > 10$ чыгат — туура эмес, демек $x=-3$ чечимге кирбейт.

Сан огу жана интервалдар менен жазуу

Барабарсыздыктын чечимин сан огунда чагылдыруу ыңгайлуу:

• Бош (боёлбогон) тегерекче — чекит чечимге кирбейт (катуу барабарсыздык $<$ же $>$).
• Боёлгон тегерекче — чекит чечимге кирет (катуу эмес барабарсыздык $\le$ же $\ge$).
• Керектүү чекиттен баштап чечим бардык ылайыктуу сандар тарапка жебе менен боёлот.

Ошол эле ой интервалдар аркылуу жазылат: тегерек кашаа $($ же $)$ — чекит кирбейт, чарчы кашаа $[$ же $]$ — кирет. Чексиздик ар дайым тегерек кашаа $($ же $)$ менен жазылат, эч качан чарчы кашаа менен эмес. Мисалы, $x < -3$ чечими $(-\infty; -3)$ түрүндө, ал эми $x \ge -2$ чечими $[-2; +\infty)$ түрүндө жазылат.

Кош барабарсыздыктар

$-2 < 3x+1 \le 7$ түрүндөгү кош барабарсыздык эки шарт тең бир учурда аткарыларын билдирет. Аны үч бөлүгү менен тең бир убакта аракеттенип чечкен ыңгайлуу.

Мисал. $-2 < 3x+1 \le 7$ барабарсыздыгын чечели.

Үч бөлүгүнөн тең $1$ди кемитебиз:

$-3 < 3x \le 6$

$3$кө бөлөбүз (сан оң, белгилер өзгөрбөйт):

$-1 < x \le 2$

Жооп: $x \in (-1; 2]$. Сан огунда: $-1$ чекити — бош тегерекче, $2$ чекити — боёлгон, алардын ортосу толугу менен боёлгон.

ЖРТ-кеңеш: эң кичине жана эң чоң бүтүн чечим

ЖРТда көп кездешкен суроо мындай угулат: «Барабарсыздыктын эң кичине (же эң чоң) бүтүн чечимин тапкыла». Мында багытты чаташтырбоо жана чек менен жаңылбоо маанилүү.

Жогорудагы мисалдагы $x \in (-1; 2]$ чечими үчүн:

• Эң чоң бүтүн чечим — бул $2$, анткени $2$ чекити кирет (боёлгон тегерекче).
• Эң кичине бүтүн чечим — бул $0$: $-1$ саны туура келбейт (тегерекче бош, $-1$ аралыкка кирбейт), ал эми $-1$ден кийинки бүтүн сан — бул $0$.

Эреже жөнөкөй: чек киреби же кирбейби — карагыла да, сан огу боюнча аралыктын ичиндеги эң жакын бүтүн санга жылгыла. Унутпагыла: эгер чечүү учурунда терс санга бөлүүгө туура келсе, интервалдын чектери орун алмашып калышы мүмкүн — чечимдин эң аягында белгинин багытын кайра текшергиле.