Рационалдык сандар жана модуль

Бүтүн жана рационалдык сандар

Бүтүн сандар — бул натуралдык сандар, аларга карама-каршы сандар жана нөл: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$

Рационалдык сандар — бул $\frac{p}{q}$ бөлчөк түрүндө жазууга боло турган сандар, мында $p$ — бүтүн сан, ал эми $q$ — натуралдык сан.

Рационалдык сандарга кирет: бардык бүтүн сандар ($5 = \frac{5}{1}$), жөнөкөй бөлчөктөр ($-\frac{2}{3}$), чектүү ондук бөлчөктөр ($0{,}25 = \frac{1}{4}$) жана чексиз мезгилдүү бөлчөктөр ($0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$).

Координаталык түз сызык

Координаталык түз сызык — бул эсептөө башы ($0$ чекити), багыты жана бирдик кесиндиси бар түз сызык. Оң сандар нөлдөн оң жакта, терс сандар — сол жакта жайгашат.

Башкы эреже: эки сандын ичинен түз сызыкта оң жагыраак жайгашканы чоң. Ошондуктан ар кандай оң сан ар кандай терс сандан чоң, ал эми нөл ар кандай терс сандан чоң.

Терс сандарды салыштыруу

Эки терс сандын ичинен модулу кичине болгону чоң.

Мисал. $-\frac{3}{4}$ менен $-\frac{4}{5}$ти салыштыралы. Жалпы бөлүмгө келтиребиз: $-\frac{15}{20}$ жана $-\frac{16}{20}$. $\frac{15}{20} < \frac{16}{20}$ болгондуктан, $-\frac{3}{4} > -\frac{4}{5}$ болот.

Терс сандар менен амалдар

Кошуу:

• белгилери бирдей сандар: модулдарын кошобуз, белгисин сактайбыз: $-5 + (-3) = -8$;
• белгилери ар башка сандар: чоң модулдан кичинесин кемитебиз, белгисин модулу чоң сандан алабыз: $-9 + 4 = -5$.

Кемитүүнү карама-каршы санды кошуу менен алмаштырабыз: $7 - (-2) = 7 + 2 = 9$

Көбөйтүү жана бөлүү — белгилер эрежеси:

• $(+) \cdot (+) = (+)$, ошондой эле $(-) \cdot (-) = (+)$ — бирдей белгилер плюс берет;
• $(+) \cdot (-) = (-)$, ошондой эле $(-) \cdot (+) = (-)$ — ар башка белгилер минус берет.

Мисал. $(-6) \cdot (-4) = 24$, бирок $(-6) \cdot 4 = -24$. Ушул сыяктуу эле $\frac{-18}{-3} = 6$, ал эми $\frac{18}{-3} = -6$.

Сандын модулу

$a$ санынын модулу — эгерде сан терс эмес болсо, ошол сандын өзү, эгерде терс болсо — ага карама-каршы сан:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{эгерде } a \ge 0 \\ -a, & \text{эгерде } a < 0 \end{cases}$

Геометриялык мааниси: $|a|$ — бул координаталык түз сызыкта $a$ чекитинен нөлгө чейинки аралык. Аралык терс болбойт, ошондуктан модуль ар дайым терс эмес.

Модулдун касиеттери:

• ар кандай $a$ үчүн $|a| \ge 0$;
• $|-a| = |a|$ — карама-каршы сандардын модулдары барабар;
• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$;
• $b \ne 0$ болгондо $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

Мисал. Эсептейли: $|{-}7| + |3| - |{-}10| = 7 + 3 - 10 = 0$.

Модулу бар теңдемелер

$|x| = a$ теңдемеси үч учур боюнча чечилет:

• эгерде $a > 0$ болсо — эки тамыры бар: $x = a$ жана $x = -a$;
• эгерде $a = 0$ болсо — бир тамыры бар: $x = 0$;
• эгерде $a < 0$ болсо — тамыры жок (модуль терс болбойт).

Мисал. $|x - 3| = 7$ теңдемесин чечели. $x$тен $3$кө чейинки аралык $7$ге барабар, демек: $x - 3 = 7 \quad \text{же} \quad x - 3 = -7$ Мындан $x = 10$ же $x = -4$. Жообу: $x = 10$; $x = -4$.

ЖРТ-кеңеш. Терс сандар менен болгон тапшырмалардагы эң көп кездешкен тузак — жоголгон белги. Эсиңерде болсун: минуска минус плюс берет — бул көбөйтүүдө жана бөлүүдө гана, ал эми кошууда $-5 + (-3) = -8$, $+8$ эмес. Жана $|x| = a$ теңдемесин текшергиле: эгерде оң жагында терс сан турса, жооп дароо «тамыры жок» — эсептөөгө убакыт коротпогула.