Төрт бурчтуктар жана алардын аянттары

Төрт бурчтуктун бурчтарынын суммасы

Каалаган томпок төрт бурчтукту диагонал менен эки үч бурчтукка бөлүүгө болот. Ар бир үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы $180°$ болгондуктан, төрт бурчтуктун бурчтарынын суммасы:

$180° + 180° = 360°$

Бул каалаган төрт бурчтук үчүн туура — тик бурчтук, ромб, параллелограмм жана трапеция үчүн.

Тик бурчтук

Тик бурчтук — бардык бурчтары тик ($90°$), ал эми карама-каршы жактары барабар жана параллель болгон төрт бурчтук. Тик бурчтуктун диагоналдары барабар жана кесилиш чекити менен тең экиге бөлүнөт.

Жактары $a$ жана $b$ болсун. Анда:

$P = 2(a+b), \qquad S = a \cdot b, \qquad d = \sqrt{a^2+b^2}$

Мисал. Жактары $6$ см жана $8$ см: $P = 2(6+8) = 28$ см, $S = 6 \cdot 8 = 48$ см², $d = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Квадрат

Квадрат — бардык жактары барабар болгон тик бурчтук. Квадраттын диагоналдары барабар, перпендикулярдуу жана анын бурчтарын тең экиге бөлөт.

$P = 4a, \qquad S = a^2, \qquad d = a\sqrt{2}$

Мисал. Жагы $5$ см: $P = 20$ см, $S = 25$ см², $d = 5\sqrt{2}$ см.

Параллелограмм

Параллелограмм — карама-каршы жактары жупташып параллель жана барабар, карама-каршы бурчтары барабар, ал эми диагоналдары кесилиш чекити менен тең экиге бөлүнгөн төрт бурчтук (бирок, тик бурчтуктан айырмаланып, алар сөзсүз эле барабар боло бербейт).

$P = 2(a+b), \qquad S = a \cdot h_a$

мында $h_a$ — $a$ жагына жүргүзүлгөн бийиктик.

Мисал. Жагы $a = 10$ см, ага түшүрүлгөн бийиктик $h_a = 4$ см: $S = 10 \cdot 4 = 40$ см².

Ромб

Ромб — бардык жактары барабар болгон параллелограмм. Ромбдун диагоналдары өз ара перпендикулярдуу, кесилиш чекити менен тең экиге бөлүнөт жана ромбдун бурчтарын тең экиге бөлөт.

$P = 4a, \qquad S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, \qquad S = a \cdot h$

Диагоналдар перпендикулярдуу жана тең экиге бөлүнгөндүктөн, диагоналдардын жарымдары менен жагы тик бурчтуу үч бурчтукту түзөт: $a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$.

Мисал. Диагоналдары $6$ см жана $8$ см: диагоналдардын жарымдары — $3$ см жана $4$ см, жагы $a = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ см. Аянты $S = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ см².

Трапеция

Трапеция — так бир жуп жагы параллель болгон төрт бурчтук (аларды негиздер деп аташат, $a$ жана $b$), ал эми экинчи жуп жагы — каптал жактар.

Трапециянын орто сызыгы каптал жактарынын орто чекиттерин бириктирет, негиздерге параллель жана алардын жарым суммасына барабар:

$m = \frac{a+b}{2}$

Трапециянын аянты орто сызык менен бийиктиктин көбөйтүндүсүнө барабар:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h$

Мисал. Негиздери $7$ см жана $13$ см, бийиктиги $4$ см: $m = \dfrac{7+13}{2} = 10$ см, $S = 10 \cdot 4 = 40$ см².

Курама фигуралар

Эгерде тик бурчтуктан кичирээк тик бурчтук же квадрат кесилип алынса (мисалы, бурчу кесилсе), калган фигуранын аянты кемитүү менен табылат: $S = S_{\text{чоң}} - S_{\text{кесилген бөлүк}}$. Периметрди мында түз эле өзгөртүүгө болбойт — аны фигуранын жаңы жактары боюнча кайра эсептөө керек.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда калькулятор колдонулбайт, ошондуктан тик бурчтуктар менен ромбдордун диагоналдары дээрлик ар дайым тамырдын астынан так квадрат чыккандай тандалат. Пифагор үчтүктөрүн эсиңерде туткула: $3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $9$-$12$-$15$, $7$-$24$-$25$. Эгерде ромбдун диагоналдарынын жарымдары же тик бурчтуктун жактары ушундай үчтүккө дал келсе (атүгүл чоңойтулган түрдө, мисалы, $3$ жана $4$түн ордуна $6$ жана $8$), жооп заматта табылат — тамырды узакка эсептөөнүн кереги жок.