Айлана жана тегерек

Радиус, диаметр жана хорда

Айлана — бул тегиздиктин бир чекиттен — борбордон $O$ бирдей алыстыкта жаткан чекиттеринин көптүгү. Тегерек — бул айлана менен чектелген тегиздиктин бөлүгү (айлананын өзү плюс анын ички аймагы).

Радиус $R$ — борборду айлананын чекити менен бириктирген кесинди (жана анын узундугу).

Диаметр $d$ — борбор аркылуу өткөн хорда. Диаметр радиустан эки эсе узун:

$d = 2R$

Хорда — айлананын эки чекитин бириктирген кесинди. Диаметр — бардык хордалардын ичинен эң узуну.

Пайдалуу факт. Борбордон хордага түшүрүлгөн перпендикуляр аны тең экиге бөлөт. Радиус, хорданын жарымы жана борбордон хордага чейинки аралык тик бурчтуу үч бурчтукту түзөт — бул жерде Пифагор теоремасы иштейт.

Мисал. Радиусу $R=13$ болгон айлананын хордасы борбордон $5$ аралыкта жайгашкан. Хорданын жарымы: $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$, демек бүт хорда $24$кө барабар.

Айлананын узундугу жана тегеректин аянты

$C = 2\pi R = \pi d, \qquad S = \pi R^2$

ЖРТ үчүн маанилүү: жоопту $\pi$ менен калтырышат, аны $3{,}14$кө алмаштырышпайт. Эгер формула боюнча $18\pi$ чыкса — бул эле акыркы жооп, $3{,}14$кө көбөйтүүнүн кереги жок (калькулятор да керек эмес).

Мисал. Радиусу $R=9$: айлананын узундугу $C=2\pi\cdot 9=18\pi$. Диаметри $d=16$: анда $R=8$, аянты $S=\pi\cdot 8^2=64\pi$.

Борбордук жана ичине сызылган бурч

Борбордук бурч — чокусу айлананын борборунда жаткан бурч; ал өзү таянган жаанын градустук ченине барабар.

Ичине сызылган бурч — чокусу айланада жаткан, жактары хордалар болгон бурч.

Башкы теорема: ичине сызылган бурч ошол эле жаага таянган борбордук бурчтун жарымына барабар:

$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$

Мындан корутунду чыгат: бир эле жаага таянган бардык ичине сызылган бурчтар өз ара барабар.

Мисал. Борбордук бурч $\angle AOB = 80°$. Анда ошол эле $AB$ жаасына таянган ичине сызылган $\angle ACB$ бурчу ($C$ чокусу чоң жаада жатат) $80°:2=40°$ко барабар.

Көз карандылыктын багытына көңүл бургула: борбордук бурч ар дайым ичине сызылган бурчтан эки эсе чоң, тескерисинче эмес. ЖРТдагы көп кездешкен ката — эмнени эки эселөө, эмнени тең экиге бөлүү керектигин чаташтыруу; өзүңөрдү «эки бурчтун кайсынысы чокусу менен айланада, кайсынысы борбордо турат?» деген суроо аркылуу текшергиле.

Диаметрге таянган бурч

Эгер хорда диаметр болсо, анда ичине сызылган бурч таянган жаа айлананын жарымына, башкача айтканда $180°$ко барабар. Башкы теорема боюнча:

$\angle ACB = \frac{180°}{2} = 90°$

Диаметрге таянган ичине сызылган бурч ар дайым тик. Бул абдан ыңгайлуу: эгер айланага ичине сызылган үч бурчтуктун бир жагы диаметр болсо, анын каршысындагы бурч $90°$ко барабар, ал эми калган эки бурчтун суммасы $90°$ болот.

Жаныма радиуска перпендикулярдуу

Жаныма — айлана менен так бир жалпы чекити (жанышуу чекити) бар түз сызык. Негизги касиети: жанышуу чекитине жүргүзүлгөн радиус жанымага перпендикулярдуу.

Мунун аркасында жаныма жөнүндөгү маселелер тик бурчтуу үч бурчтукка келтирилет: эгер радиус $OT$ жана жаныманын кесиндиси $PT$ белгилүү болсо, тышкы $P$ чекитинен $O$ борборуна чейинки аралык Пифагор теоремасы боюнча табылат.

Мисал. $OT=8$, $PT=15$ — $T$ жанышуу чекитиндеги тик бурчтун катеттери. Анда

$OP = \sqrt{8^2+15^2} = \sqrt{289} = 17$

ЖРТ-кеңеш

«Тегерек» Пифагор үчтүктөрүн эсиңерде туткула: $3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$. Хордалар менен жанымалар жөнүндөгү маселелер дээрлик ар дайым аларга негизделген жана тамыр оозеки, калькуляторсуз чыгарылат. Эң башкы эреже: эгер айлананын узундугунун же тегеректин аянтынын формуласы боюнча $\pi$ менен жооп чыкса — аны ошол түрүндө калтыргыла, ондук бөлчөккө айландырбагыла.

Каталардын дагы бир көп кездешкен булагы — айлана (узундугу $C=2\pi R$ менен эсептелген сызык) менен тегеректин (аянты $S=\pi R^2$ менен эсептелген жалпак фигура) ортосундагы чаташуу. Формулага сандарды коюудан мурун так эмне суралып жатканын аныктагыла: узундукпу же аянтпы.