Бурчтар жана үч бурчтуктар

Жандаш жана вертикаль бурчтар

Жандаш бурчтар — бул бир жагы жалпы, ал эми калган эки жагы түз сызыкты (карама-каршы шоолаларды) түзгөн эки бурч. Жандаш бурчтардын суммасы ар дайым $180°$ болот.

Вертикаль бурчтар эки түз сызык кесилишкенде пайда болуп, кесилиш чекити аркылуу бири-бирине каршы жайгашат. Вертикаль бурчтар ар дайым өз ара барабар.

Мисал. Эки жандаш бурчтун бири экинчисинен $20°$ чоң. Кичине бурчту $x$ десек, анда $x+(x+20)=180$, мындан $x=80$. Бурчтар $80°$ жана $100°$ болот.

Эки түз сызык кесилишкенде дароо эки жуп вертикаль бурч пайда болот, ошондуктан төрт бурчтун арасында эки гана ар башка маани кездешет — алар кезектешип келет: мисалы, $80°,100°,80°,100°$.

Параллель түз сызыктар жана кесүүчүдөгү бурчтар

Кесүүчү эки параллель түз сызыкты кескенде үч маанилүү жуп бурч пайда болот:

• Тиешелеш бурчтар (кесүүчүгө жана ар бир параллель түзгө карата бирдей абалда турат) — барабар.
• Айкаш жаткан бурчтар (кесүүчүнүн ар кайсы тарабында, параллель түздөрдүн ортосунда) — барабар.
• Бир тараптуу бурчтар (кесүүчүнүн бир тарабында, параллель түздөрдүн ортосунда) — суммасы $180°$ болот.

Мисал. Кесүүчү параллель түздөрдүн бири менен $70°$ бурч түзөт. Анда экинчи түздөгү айкаш жаткан бурч да $70°$ко барабар, ал эми аны менен бир тараптуу бурч $180°-70°=110°$ болот.

Үч бурчтук: бурчтарынын суммасы жана тышкы бурч

Каалаган үч бурчтуктун бурчтарынын суммасы $180°$ко барабар:

$\angle A+\angle B+\angle C=180°$

Үч бурчтуктун тышкы бурчу (бир жагын чокудан ары улантканда пайда болот) ага жандаш эмес калган эки ички бурчтун суммасына барабар:

$\angle_{\text{тыш}}=\angle A+\angle B$

Үч бурчтуктун түрлөрү

Жактары боюнча: тең жактуу (үч жагы тең барабар), тең капталдуу (эки жагы барабар), ар түрдүү жактуу (бардык жактары ар башка).

Бурчтары боюнча: курч бурчтуу (бардык бурчтары $90°$тан кичине), тик бурчтуу (бир бурчу $90°$ко барабар), мокок бурчтуу (бир бурчу $90°$тан чоң).

Бул эки классификация бири-биринен көз каранды эмес: мисалы, үч бурчтук бир эле учурда тең капталдуу жана мокок бурчтуу болушу мүмкүн (бурчтары $120°,30°,30°$), ал эми тең жактуу үч бурчтук ар дайым курч бурчтуу болот, анткени анын бардык бурчтары $60°$ко барабар.

Тең капталдуу үч бурчтук

Тең капталдуу үч бурчтукта негизиндеги бурчтар (алар барабар каптал жактардын каршысында жатат) өз ара барабар.

Мисал. Тең капталдуу үч бурчтуктун чокусундагы бурчу $50°$ко барабар. Анда негизиндеги ар бир бурч $\dfrac{180°-50°}{2}=65°$ болот.

Пифагор теоремасы

Тик бурчтуу үч бурчтукта гипотенузанын квадраты катеттердин квадраттарынын суммасына барабар:

$c^2=a^2+b^2$

ЖРТда калькулятор колдонулбайт, ошондуктан даяр «Пифагор үчтүктөрүн» жаттап алуу пайдалуу:

$3\text{-}4\text{-}5,\qquad 6\text{-}8\text{-}10,\qquad 5\text{-}12\text{-}13$

Мисал. Катеттер $9$ жана $12$. Бул $3$кө көбөйтүлгөн $3$-$4$-$5$ үчтүгү, демек гипотенуза $=5\cdot3=15$ — тамыр чыгаруунун кереги жок.

Үч бурчтуктун барабарсыздыгы

Жактары $a,b,c$ болгон үч бурчтук анын каалаган эки жагынын суммасы үчүнчүсүнөн чоң болгондо гана жашайт:

$a+b>c$

Мисал. Жактары $4,5,10$ болгон үч бурчтукту курууга болобу? Эң узун жакты текшеребиз: $4+5=9<10$ — болбойт, мындай үч бурчтук жашабайт. Ал эми $5,12,13$ жактары үч бурчтукту түзөт ($5+12=17>13$), анын үстүнө бул так Пифагор үчтүгү, башкача айтканда, үч бурчтук дагы тик бурчтуу.

Иш жүзүндө бир гана барабарсыздыкты текшерүү жетиштүү — эң узун жак калган экөөнүн суммасы менен салыштырылганын: ал аткарылса, калган эки барабарсыздык да автоматтык түрдө аткарылат.

Тик бурчтуу үч бурчтуктун периметри жана аянты

Периметр: $P=a+b+c$. Тик бурчтуу үч бурчтуктун аянты катеттердин көбөйтүндүсүнүн жарымына барабар:

$S=\dfrac{a\cdot b}{2}$

Мисал. Катеттер $6$ жана $8$, анда гипотенуза ($6$-$8$-$10$ үчтүгү) $10$го барабар. Периметри $P=6+8+10=24$, аянты $S=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24$.

ЖРТ-кеңеш

Пифагордун үч даяр үчтүгүн ($3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$) жаттап алгыла жана алардын эселиктерин тааныгыла (мисалы, $9$-$12$-$15$) — бул гипотенузаны же катетти тамырды кол менен чыгарбастан заматта табууга мүмкүндүк берет. Ошондой эле кыска эрежени эсиңерде тутуп жүргүлө: үч бурчтуктун тышкы бурчу ага жандаш эмес эки ички бурчтун суммасына барабар — көбүнчө бул адегенде үчүнчү бурчту $180°$ аркылуу таап, анан аны кемитип отургандан ылдамыраак.