Арифметикалык прогрессия

Арифметикалык прогрессия деген эмне

Арифметикалык прогрессия — бул ар бир кийинки мүчөсү мурункусуна бир эле $d$ санын кошуу менен алынуучу сандардын удаалаштыгы. $d$ саны прогрессиянын айырмасы деп аталат.

$a_1,\quad a_2=a_1+d,\quad a_3=a_2+d,\quad \ldots$

Мисалы, $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ удаалаштыгында ар бир кийинки мүчө мурункусунан $3$кө чоң, демек бул $a_1=2$ жана $d=3$ болгон арифметикалык прогрессия.

Айырманы каалаган эки коңшу мүчө боюнча оңой табууга болот:

$d = a_{n+1} - a_n$

Эгер $d>0$ болсо — прогрессия өсүүчү, эгер $d<0$ болсо — кемүүчү, ал эми $d=0$ болсо — бардык мүчөлөрү биринчисине барабар.

$n$-мүчөнүн формуласы

Бардык мүчөлөрдү катары менен жазып отурбаш үчүн формула колдонулат:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Мисал. $a_1=4$, $d=3$ берилген. $a_{10}$ду табабыз:

$a_{10} = 4 + (10-1)\cdot 3 = 4+27 = 31$

Мүнөздөөчү касиет

Арифметикалык прогрессиянын маанилүү касиети бар: каалаган мүчө (четкилеринен башкасы) өзүнө коңшу мүчөлөрдүн арифметикалык ортосуна барабар:

$a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

Бул касиет коңшу мүчөлөр үчүн гана эмес, номерлеринин бири калган экөөнүн номерлеринин арифметикалык ортосу болгон каалаган мүчөлөр үчүн да иштейт. Эгер $k$ номери $m$ жана $p$ номерлеринин ортосу болсо (башкача айтканда $k=\dfrac{m+p}{2}$), анда:

$a_k = \frac{a_m+a_p}{2}$

Мисал. $a_3=6$ жана $a_9=24$ болсун. $6$ номери $3$ жана $9$ сандарынын арифметикалык ортосу, ошондуктан

$a_6 = \frac{a_3+a_9}{2} = \frac{6+24}{2} = 15$

мында $a_1$ менен $d$ни эсептөөнүн кереги жок.

Алгачкы $n$ мүчөнүн суммасы

Прогрессиянын алгачкы $n$ мүчөсүнүн суммасын төмөнкү формула менен табууга болот:

$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

Биринчи түрү $a_1$ жана $a_n$ белгилүү болгондо ыңгайлуу; ал эми экинчиси — $a_1$ менен $d$ гана белгилүү болгондо.

Мисал. $2, 5, 8, 11, \ldots$ прогрессиясынын алгачкы $6$ мүчөсүнүн суммасын табабыз: адегенде $a_6 = 2+5\cdot3=17$, андан кийин

$S_6 = \frac{2+17}{2}\cdot 6 = 9,\!5\cdot 6 = 57$

Эки мүчө боюнча прогрессияны калыбына келтирүү

Маселелерде көбүнчө $a_1$ менен $d$ эмес, каалаган эки мүчө берилип, бүт прогрессияны калыбына келтирүү керек болот.

Мисал. $a_2=5$ жана $a_5=17$ болсун. Бул мүчөлөрдүн ортосунда $5-2=3$ айырма кадамы бар:

$a_5-a_2 = 3d \;\Rightarrow\; 3d=17-5=12 \;\Rightarrow\; d=4$

Анда $a_1 = a_2-d = 5-4=1$, эми прогрессиянын каалаган мүчөсүн табууга болот, мисалы $a_{10}=1+9\cdot4=37$.

Практикалык маселелер

Арифметикалык прогрессиялар реалдуу кырдаалдарга байланыштуу маселелерде көп кездешет.

Отургучтардын катарлары. Эгер залдын биринчи катарында $16$ отургуч болуп, ар бир кийинки катарда $2$ге көп болсо, катарлардагы отургучтардын саны — $a_1=16$, $d=2$ болгон прогрессия. $8$-катардагы орундардын саны: $a_8=16+7\cdot2=30$, ал эми алгачкы $8$ катардын жалпы сыйымдуулугу: $S_8=\dfrac{16+30}{2}\cdot8=184$ орун. Ушул эле ыкма текчелердеги товардын санына, партиялардагы тетиктердин санына жана чоңдук бир калыпта өсүүчү же кемүүчү башка маселелерге да иштейт.

Сом боюнча топтоолор. Эгер адам биринчи айда $200$ сом топтоп, ар бир айда сумманы бирдей чоңдукка көбөйтсө, топтолгон суммалар да арифметикалык прогрессияны түзөт, ал эми $S_n$ суммасынын формуласы $n$ айдагы жалпы топтолгон сумманы берет. «Белгилүү бир айда канча топтоду» ($a_n$ керек) деген суроону «жалпысынан канча топтоду» ($S_n$ керек) деген суроо менен чаташтырбоо маанилүү — булар ар башка формулалар, жана ЖРТда мындай маселелер дал ушул айырманы атайын текшерет.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда көбүнчө прогрессиянын эки мүчөсүн берип, номери берилгендердин номерлеринин арифметикалык ортосу болгон үчүнчү мүчөнү табууну сурашат. Мындай учурда $a_1$ жана $d$ боюнча теңдемелер системасын чечпегиле — дароо $a_k=\dfrac{a_m+a_p}{2}$ мүнөздөөчү касиетин колдонгула, бул убакытты үнөмдөйт. Ал эми сумманы эсептөөдө шартта кайсы чоңдуктар берилгенин текшергиле: эгер $a_1$ жана $a_n$ белгилүү болсо, $d$ни өзүнчө издебегиле — түздөн-түз $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ формуласын колдонгула.