Геометриялык прогрессия

Аныктама жана прогрессиянын бөлүмү

Геометриялык прогрессия — бул ар бир кийинки мүчөсү мурункусун прогрессиянын бөлүмү деп аталуучу бир эле $q$ санына көбөйтүү менен алынуучу сандардын удаалаштыгы:

$b_{n+1} = b_n \cdot q, \qquad q \neq 0$

Биринчи мүчөсү $b_1$ деп белгиленет. Мисалы, $b_1 = 3$ жана $q = 2$ болгондо мындай прогрессия алабыз:

$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ \ldots$

Эгер $q = \frac{1}{2}$ болсо, прогрессия кемийт — ар бир кийинки мүчө мурункусунан эки эсе кичине:

$64,\ 32,\ 16,\ 8,\ 4,\ \ldots$

Бөлүмдү табуу үчүн каалаган мүчөнү мурункусуна бөлүү жетиштүү: $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.

Геометриялык прогрессияны арифметикалык прогрессия менен чаташтырбоо маанилүү: арифметикалык прогрессияда коңшу мүчөлөр бир эле кошулуучуга ($d$) айырмаланат, ал эми геометриялыкта — бир эле көбөйтүүчүгө ($q$) көбөйтүлөт. Удаалаштык геометриялык экенин текшерүү үчүн ар бир мүчөнү мурункусуна бөлүшөт — эгер тийинди бардык жерде бирдей болсо, прогрессия геометриялык.

n-мүчөнүн формуласы

Ар бир кийинки мүчө $q$га көбөйтүү менен алынгандыктан, $n-1$ жолу ушундай көбөйтүүдөн кийин:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Мисал. $b_1 = 3$, $q = 2$ берилген. $b_6$ны тапкыла.

$b_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$

Мүнөздөөчү касиет

Геометриялык прогрессиянын каалаган үч коңшу мүчөсү үчүн туура:

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Башкача айтканда, ортоңку мүчөнүн квадраты коңшу мүчөлөрдүн көбөйтүндүсүнө барабар — ар бир мүчө (четкилеринен башкасы) коңшу мүчөлөрдүн геометриялык ортосу болуп саналат. Бул касиет $q$ну билбей туруп, түшүп калган мүчөнү табуу керек болгондо ыңгайлуу.

Мисал. Оң сандардан турган прогрессияда $b_1 = 4$, $b_3 = 16$. $b_2$ни тапкыла.

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3 = 4 \cdot 16 = 64 \quad\Rightarrow\quad b_2 = \sqrt{64} = 8$

Текшерүү: $4, 8, 16$ — бөлүмү $q = 2$, баары туура.

Алгачкы n мүчөнүн суммасы

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \qquad q \neq 1$

Мисал. $b_1 = 1$, $q = 3$. Алгачкы $5$ мүчөнүн суммасын тапкыла.

$S_5 = \frac{3^5 - 1}{3-1} = \frac{243-1}{2} = \frac{242}{2} = 121$

Кол менен текшерүү: $1+3+9+27+81 = 121$ — дал келет.

Эки эселөө жана экиге бөлүү маселелери

$q=2$ болгон геометриялык прогрессия эки эселөөнү, ал эми $q=\frac{1}{2}$ болгону эки эсе азаюуну сүрөттөйт. Мындай маселелер ЖРТда көп кездешет.

Бактериялар. $50$ бактериядан турган колония ар бир саат сайын эки эселенет. $5$ сааттан кийин канча бактерия болот?

Мында $b_1 = 50$ (баштапкы учур), $q = 2$. $5$ сааттан кийин бактериялардын саны $b_6 = b_1 q^5$ке барабар:

$b_6 = 50 \cdot 2^5 = 50 \cdot 32 = 1600$

Кагазды бүктөө. Калыңдыгы $0{,}1$ мм болгон баракты $7$ жолу экиге бүктөшөт. Ар бир бүктөөдө калыңдык эки эселенет ($q=2$), ошондуктан акыркы калыңдык $b_8 = b_1 q^7$ге барабар:

$b_8 = 0{,}1 \cdot 2^7 = 0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8 \text{ мм}$

Эки маселеде тең мүчөнүн номеринен жаңылбоо маанилүү: эгер $b_1$ — бул «биринчи эки эселөөгө чейинки» абал болсо, анда $k$ эки эселөөдөн кийин $b_k$ эмес, $b_{k+1}$ мүчөсүн алабыз.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда сандар калькулятору жок эсептегидей кылып тандалат. Экинин даражаларын ($2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$) жана үчтүн даражаларын ($3, 9, 27, 81, 243$) эсиңерде туткула — бул $q^{n-1}$ди эсептөөдө убакытты үнөмдөйт. Эгер $q$ бөлчөк болсо (мисалы, $q = \frac12$), мамыча менен бөлгөнгө караганда бөлчөктүн бөлүмүндөгү $2$ге көбөйтүү оңоюраак. Жана дайыма жоопту кайра коюу менен текшергиле: прогрессияны мүчөлөрү боюнча кол менен эсептеп, формула менен дал келерин текшергиле.

Көп кездешкен ката — $b_n = b_1 q^{n-1}$ формуласында мүчөнүн номеринен жаңылуу: даражанын көрсөткүчү дайыма мүчөнүн номеринен бирге кичине. Дагы бир типтүү ката — геометриялык прогрессиянын суммасынын формуласын арифметикалык прогрессиянын суммасынын формуласы менен чаташтыруу: геометриялыктын формуласында мүчөнүн номеринин айырмага көбөйтүндүсү эмес, $q^n$ даражасы катышат. Эгер татаал формуладан күмөн санасаңар, кичине $n$ үчүн (ЖРТдагыдай) бардык мүчөлөрдү жөн эле жазып чыгып, кол менен кошсо болот — бул ишенимдүүрөөк жана көбүнчө тезирээк.