Сандык мыйзам ченемдүүлүктөр

«Мыйзам ченемдүүлүктү табуу» деген эмнени билдирет

Сандык мыйзам ченемдүүлүктөргө болгон маселелерде сандардын катары берилет, жана ар бир кийинки мүчө кайсы эреже боюнча алынганын түшүнүп, андан соң катарды улантуу керек. Эреже дайыма жөнөкөй жана жалгыз болушу керек — эгер аны бир-эки амал менен түшүндүрсө болсо, дал ошол туура жооп. Бир нече типтүү ыкманы кезеги менен текшерүү керек.

Мүчөлөрдүн ортосундагы айырмалар

Адегенде коңшу мүчөлөрдүн ортосундагы айырма бирдей эмеспи деп карайбыз (анда бул арифметикалык прогрессия), ал эми андай болбосо — айырманын өзү жөнөкөй эреже боюнча өспөйбү деп текшеребиз.

ЖРТнын классикалык мисалы. Удаалаштык берилген:

$2, \ 6, \ 12, \ 20, \ \ldots$

Айырмаларды табабыз: $6-2=4$, $12-6=6$, $20-12=8$. Айырмалар өздөрү $4, 6, 8, \ldots$ катарын түзөт — ар бир кадамда $2$ге өсөт. Демек, кийинки айырма $10$го барабар, жана кийинки мүчө:

$20 + 10 = 30$

Тереңирээк мыйзам ченемдүүлүктү да байкайлы: $2 = 1\cdot2$, $6=2\cdot3$, $12=3\cdot4$, $20=4\cdot5$ — ар бир мүчө $n(n+1)$ге барабар. Анда бешинчи мүчө дароо $5\cdot6=30$ деп эсептелет — ошол эле жооп, бирок айырмаларды жазып отурбастан.

Мүчөлөрдүн ортосундагы катыштар

Эгер айырмалар жардам бербесе, коңшу мүчөлөрдүн катышын текшерүү керек — балким ар бир кийинки мүчө мурункусун бир эле санга көбөйтүү менен алынып жаткандыр.

Мисал. $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ \ldots$ Мында $6:3=2$, $12:6=2$, $24:12=2$ — катыш дайыма $2$ге барабар, демек кийинки мүчө: $24 \cdot 2 = 48$.

Белгилердин алмашуусу

Эгер сандар кезеги менен белгисин алмаштырса, адатта ошол эле геометриялык мыйзам ченемдүүлүк болот, бирок көбөйтүүчүсү терс.

Мисал. $5, \ -10, \ 20, \ -40, \ \ldots$ Ар бир мүчөнүн мурункусуна катышы $-2$ге барабар: $-10:5=-2$, $20:(-10)=-2$. Кийинки мүчө: $-40 \cdot (-2) = 80$.

Квадраттар, кубдар жана башка даражалар

Кээде удаалаштыктын мүчөлөрү — натуралдык сандардын так квадраттары же кубдары болот, аларды жөн гана «көрүп эле» тааный билүү керек.

Мисал. $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ \ldots$ — булар кубдар: $1^3, 2^3, 3^3, 4^3$. Кийинки мүчө: $5^3 = 125$.

Фигуралык сандар

Фигуралык сандар — бул фигура (үч бурчтук, квадрат) түрүндө жайгаштырылган чекиттер менен көрсөтүүгө боло турган сандар. ЖРТда эң көп кездешкендери — үч бурчтук сандар:

$T_n = \frac{n(n+1)}{2}: \quad 1, \ 3, \ 6, \ 10, \ 15, \ 21, \ \ldots$

Алардын ортосундагы айырмалар — жөн гана $1$ге өсүп туруучу натуралдык сандар $2, 3, 4, 5, \ldots$. Квадрат сандар $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ — да фигуралык сандар, алардын айырмалары $3, 5, 7, 9, \ldots$ (так сандар).

Айкалышкан эрежелер

Кээде мыйзам ченемдүүлүк «эки кабаттуу» болот: айырмалардын өзү туруктуу санга эмес, өз эрежеси боюнча өсөт — мисалы, эки эселенет.

Мисал. $3, \ 4, \ 6, \ 10, \ 18, \ \ldots$ Айырмалар: $1, 2, 4, 8$ — ар бир кийинкиси мурункусунан эки эсе чоң. Демек, кийинки айырма $16$, жана кийинки мүчө: $18+16=34$.

ЖРТ-кеңеш

Экзамендеги текшерүү тартиби: адегенде айырмалар (туруктуубу? туруктуу санга өсөбү?), андан кийин катыштар (туруктуубу?), андан соң — булар квадраттар/кубдар эмеспи, үч бурчтук сандар эмеспи. Эгер жөнөкөй эреже табылып, ал катарды бир маанилүү улантса — дал ошол жооп, андан ары издөөнүн кереги жок. Эрежени алгачкы экөөндө гана эмес, бардык берилген мүчөлөрдө текшергиле: «дээрлик туура келген», бирок үчүнчү-төртүнчү мүчөдө бузулган эреже туура эмес.