Туунду жана функцияны изилдөө

Туунду деген эмне

$f(x)$ функциясынын туундусу функциянын өзгөрүү ылдамдыгын көрсөтөт: $x$ өзгөргөндө $f(x)$ канчалык тез өзгөрөт. $f'(x)$ деп белгиленет.

Эгер $f(x)$ — $x$ убакыт мезгилине чейин басып өткөн жол болсо, анда $f'(x)$ — бул көз ирмемдик ылдамдык. Туунду чоң — функция тез өсөт; терс — функция кемийт.

Туундулардын таблицасы

ЖРТ үчүн үч формуланы билүү жетиштүү:

| Функция | Туундусу | |---|---| | $c$ (турактуу) | $0$ | | $cx$ | $c$ | | $x^n$ | $n x^{n-1}$ |

Мисалы: $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$, $(7x)' = 7$, $(5)' = 0$.

Дифференцирлөө эрежелери

• Сумма жана айырма: $(f + g)' = f' + g'$ — ар бир кошулуучуну өзүнчө дифференцирлейбиз.
• Турактуу көбөйтүүчү: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ — турактуу сыртка чыгарылат.

Мисал. $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$.

$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 - 6 + 0 = 6x^2 - 6$

Чекиттеги туунду

$f'(x_0)$ду табуу үчүн адегенде $f'(x)$ти табабыз, андан кийин $x_0$ду коёбуз.

Мисал. $f(x) = x^3 - 4x$, $f'(2)$ни табуу керек.

$f'(x) = 3x^2 - 4, \qquad f'(2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8$

Графикке жаныма

$y = f(x)$ графигине $x_0$ чекитинде жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффициенти ошол чекиттеги туундуга барабар:

$k = f'(x_0)$

Мисал. $f(x) = x^2 + 2x$ графигине $x_0 = 1$ чекитинде жүргүзүлгөн жаныманын бурчтук коэффициентин табабыз: $f'(x) = 2x + 2$, демек $k = f'(1) = 4$.

Өсүү жана кемүү

Туундунун белгиси функциянын жүрүм-туруму жөнүндө айтып берет:

• аралыкта $f'(x) > 0$ — функция өсөт;
• аралыкта $f'(x) < 0$ — функция кемийт.

Иш-аракеттердин планы: $f'(x)$ти табуу, $f'(x) = 0$ теңдемесин чыгаруу, сан огунда туундунун белгилерин жайгаштыруу.

Экстремум чекиттери

Экстремум — бул максимум же минимум чекити. Анда $f'(x_0) = 0$ жана туунду белгисин өзгөртөт:

• $+$дан $-$га — максимум чекити;
• $-$дан $+$га — минимум чекити.

Мисал. $f(x) = x^3 - 3x$. Анда $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, нөлдөрү: $x = -1$ жана $x = 1$.

Туундунун белгилери: $x < -1$ болгондо $+$, андан кийин $(-1;\ 1)$де $-$, андан кийин $x > 1$ болгондо $+$.

Демек, $x = -1$ — максимум чекити ($+ \to -$ белгиси), $x = 1$ — минимум чекити ($- \to +$ белгиси). Функция $(-\infty;\ -1)$ жана $(1;\ +\infty)$ аралыктарында өсөт, $(-1;\ 1)$де кемийт.

Кесиндидеги эң чоң жана эң кичине маани

$[a;\ b]$ кесиндисинде эң чоң жана эң кичине маанилер же $f'(x) = 0$ болгон чекиттерде (эгер алар кесиндиге тийиштүү болсо), же кесиндинин учтарында жетишилет. Алгоритм:

1. $f'(x)$ти таап, $f'(x) = 0$ теңдемесин чыгаруу.
2. $[a;\ b]$ ичинде жаткан тамырларды тандап алуу.
3. Ошол тамырларда жана $a$, $b$ учтарында $f$тин маанисин эсептөө.
4. Алынган сандардын эң чоңун (эң кичинесин) тандоо.

Мисал. $[0;\ 2]$ кесиндисинде $f(x) = x^3 - 3x$. $f'(x) = 0$дүн тамырларынан кесиндиде $x = 1$ гана жатат. Эсептейбиз: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(2) = 8 - 6 = 2$. Эң чоң маани $2$, эң кичинеси $-2$.

ЖРТ-кеңеш

Эң чоң/эң кичине маани маселелеринде график тургузбагыла — бул убакыт коротуу. Кесиндинин ичиндеги критикалык чекиттерде жана анын учтарында функциянын маанилерин салыштыруу жетиштүү: бул үч-төрт коюу. Ал эми жаныманын бурчтук коэффициенти гана суралса, эстегиле: $k = f'(x_0)$, жаныманын теңдемесинин өзүн жазуунун кереги жок.