Татаалдыгы жогору теңдемелер

Иррационалдык теңдемелер

Өзгөрмөсү тамыр белгисинин астында турган теңдеме иррационалдык деп аталат. Негизги ыкма — эки жагын тең квадратка көтөрүү. Бирок бул ыкманын баасы бар: бөтөн тамырлар пайда болушу мүмкүн, ошондуктан баштапкы теңдемеге коюп текшерүү милдеттүү.

Мисал. $\sqrt{x+3} = x - 3$ теңдемесин чыгарабыз.

Эки жагын тең квадратка көтөрөбүз:

$x + 3 = x^2 - 6x + 9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 7x + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1, \; x = 6.$

Текшерүү (баштапкы теңдемеге коёбуз):

• $x = 1$: сол жагы $\sqrt{1+3} = 2$, оң жагы $1 - 3 = -2$. Барабар эмес — тамыр бөтөн.
• $x = 6$: сол жагы $\sqrt{6+3} = 3$, оң жагы $6 - 3 = 3$. Туура.

Жооп: $x = 6$. Бөтөн тамыр квадратка көтөргөндө белгинин «өчүрүлүшүнөн» пайда болду: $\sqrt{\phantom{x}}$ тамыры ар дайым терс эмес, ал эми оң жагы $x = 1$де терс.

Өзгөрмөнү алмаштыруу: биквадраттык теңдемелер

$ax^4 + bx^2 + c = 0$ түрүндөгү теңдеме биквадраттык деп аталат. $t = x^2$ (мында $t \ge 0$) алмаштыруусу аны кадимки квадраттык теңдемеге айландырат.

Мисал. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

$t = x^2$ болсун:

$t^2 - 5t + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1, \; t = 4.$

$x$ өзгөрмөсүнө кайтабыз:

• $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$;
• $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Жооп: $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$ — төрт тамыр. Эгер $t < 0$ чыкса, бул бутакты алып салуу керек болмок: сандын квадраты терс болбойт.

Алмаштыруу менен көрсөткүчтүү теңдемелер

Эгер теңдемеде $4^x$ жана $2^x$ кездешсе, $4^x = (2^x)^2$ экенин байкап, $t = 2^x$ алмаштыруусун жасайбыз. Маанилүү: ар дайым $t > 0$, терс $t$ маанилерин алып салабыз.

Мисал. $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$.

$t = 2^x$, $t > 0$ болсун:

$t^2 - 3t + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1, \; t = 2.$

Тескери алмаштыруу:

• $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$;
• $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.

Жооп: $x = 0$ жана $x = 1$. Текшерүү: $4^0 - 3 \cdot 2^0 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$, $4^1 - 3 \cdot 2^1 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.

Бөлчөк-рационалдык теңдемелер жана УБМО

Бөлчөк нөлгө барабар болот, качан гана алымы нөлгө барабар, ал эми бөлүмү нөлгө барабар эмес болгондо. Ошондуктан чыгарууну УБМОдон (уруксат берилген маанилердин облусу, ОДЗ) баштайбыз.

Мисал. $\dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 0$.

УБМО: $x \ne 3$. Алымы: $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3, \; x = -2$. $x = 3$ тамыры УБМОго кирбейт — алып салабыз.

Жооп: $x = -2$.

ЖРТнын типтүү тузагы: бардык өзгөртүп түзүүлөр туура, бирок табылган жалгыз тамыр бөлүмдү нөлгө айландырат — анда туура жооп «тамыры жок».

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда узун эсептөөлөргө убакыт жок, ошондуктан мындай иштегиле. Биринчиден, иррационалдык теңдемеде квадратка көтөрүүдөн мурун оң жактын белгисине карагыла: эгер $\sqrt{f(x)} = g(x)$ болсо, анда $g(x) \ge 0$ болгон $x$тер гана жарайт — бул бөтөн тамырларды заматта четтетет. Экинчиден, өзгөрмөнү алмаштыргандан кийин ар дайым $x$ке кайткыла: жооп варианттарында көбүнчө $t$нин мааниси турат — бул тузак. Үчүнчүдөн, эң тез текшерүү — жоопту баштапкы теңдемеге коюу: бүтүн тамырлар менен ал бир нече секунд алат жана өкүнүчтүү каталардан сактайт.