Катыштар жана пропорциялар

Катыш деген эмне

Эки чоңдуктун катышы — бул аларды бөлүүдөн чыккан тийинди. $a$нын $b$га катышы $a : b$ же $\frac{a}{b}$ түрүндө жазылат. Ал бир чоңдук экинчисинен канча эсе чоң экенин же бир чоңдук экинчисинин кандай бөлүгүн түзөрүн көрсөтөт.

Мисал. Класста $12$ эркек бала жана $18$ кыз бар. Эркек балдардын санынын кыздардын санына катышы:

$12 : 18 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} = 2 : 3$

Катышты жөнөкөй бөлчөк сыяктуу эле кыскартууга болот. Тартиби маанилүү: $2:3$ менен $3:2$ — ар башка катыштар!

Катыштагы чоңдуктар бирдей бирдиктерде болушу керек: $30$ смдин $1$ мге катышы — бул $30 : 100 = 3 : 10$, $30 : 1$ эмес.

Пропорция жана анын негизги касиети

Пропорция — бул эки катыштын барабардыгы:

$a : b = c : d \qquad \text{же} \qquad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

$a$ менен $d$ сандары четки мүчөлөр, $b$ менен $c$ — ортоңку мүчөлөр деп аталат.

Пропорциянын негизги касиети («айкаш көбөйтүү» эрежеси): четки мүчөлөрдүн көбөйтүндүсү ортоңку мүчөлөрдүн көбөйтүндүсүнө барабар:

$a \cdot d = b \cdot c$

Мисалы, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ — туура пропорция, анткени $3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 36$.

Белгисиз мүчөнү табуу

Негизги касиеттен пропорциянын каалаган мүчөсүн калган үч мүчө аркылуу туюнтууга болот.

Мисал. Эгерде $\frac{x}{15} = \frac{4}{5}$ болсо, $x$ти тапкыла.

Айкаш көбөйтөбүз: $5x = 15 \cdot 4 = 60$, демек $x = 12$.

ЖРТ-кеңеш. Теңдемени узун жол менен чыгарбагыла — дароо айкаш көбөйтүндүнү жазгыла. Бул эң ылдам ыкма, ал эми ЖРТда ар бир секунд баалуу. Текшерүү да заматта: $12 \cdot 5 = 15 \cdot 4 = 60$. ✓

Чоңдукту берилген катышта бөлүү

Чоңдукту $a : b : c$ катышында бөлүү үчүн адегенде бир үлүштү табышат: чоңдукту $a + b + c$ суммасына бөлүп, андан кийин $a$, $b$ жана $c$га көбөйтүшөт.

Мисал. $180$ сомду үч доско $2 : 3 : 4$ катышында бөлгүлө.

1. Бардыгы болуп үлүш: $2 + 3 + 4 = 9$.
2. Бир үлүш: $180 : 9 = 20$ сом.
3. Үлүштөр: $2 \cdot 20 = 40$, $\; 3 \cdot 20 = 60$, $\; 4 \cdot 20 = 80$ сом.

Текшерүү: $40 + 60 + 80 = 180$. ✓ Үлүштөрдүн суммасы баштапкы чоңдукка барабар экенин ар дайым текшергиле.

Түз жана тескери пропорционалдуулук

Түз пропорционалдуулук: бир чоңдук бир нече эсе чоңойгондо экинчиси да ошончо эсе чоңоёт. Мисал — баа менен сан: эгер $3$ кг алма $150$ сом турса, анда $6$ кг ($2$ эсе көп) $300$ сом турат (ал да $2$ эсе көп).

Тескери пропорционалдуулук: бир чоңдук бир нече эсе чоңойгондо экинчиси ошончо эсе азаят. Мисал — бир эле жолдогу ылдамдык менен убакыт: эгер $60$ км/саат ылдамдыкта жол $4$ саатты алса, анда $80$ км/саат ылдамдыкта —

$t = \frac{60 \cdot 4}{80} = 3 \text{ саат.}$

Ылдамдык өстү, убакыт азайды — $v \cdot t = 240$ км көбөйтүндүсү мурункусундай калды.

ЖРТ-кеңеш. Адегенде көз карандылыктын тибин аныктагыла, өзүңөргө суроо бергиле: «бир чоңдук өссө — экинчиси өсөбү же азаябы?» Эгер өссө — түз пропорционалдуулук (пропорцияны түз жазабыз), эгер азайса — тескери (пропорцияны оодарабыз же туруктуу көбөйтүндүнү колдонобуз).

Картанын масштабы

Масштаб — бул картадагы кесиндинин узундугунун жер бетиндеги ага тиешелүү кесиндинин узундугуна катышы. $1 : 100\,000$ масштабы мындайды билдирет: картадагы $1$ см — жер бетинде $100\,000$ см $= 1$ км.

Мисал. Картанын масштабы $1 : 200\,000$. Картадагы аралык — $4{,}5$ см. Жер бетиндеги аралык:

$4{,}5 \cdot 200\,000 = 900\,000 \text{ см} = 9 \text{ км.}$

ЖРТ-кеңеш. Которууну жаттап алгыла: $100\,000$ см $= 1$ км. Ошондуктан $1:N$ масштабын дароо которуп алуу ыңгайлуу: «картадагы $1$ см $= \frac{N}{100\,000}$ км». $1:200\,000$ үчүн бул $1$ смге $2$ км — маселе ооз эки чыгарылат.