Жаңы амалдар менен маселелер

«Жаңы амал» деген эмне

Кадимки кошуу, кемитүү, көбөйтүү жана бөлүүдөн тышкары, ЖРТда жаңы амал киргизилген маселелер кездешет — өз символу бар ойлоп табылган амал: $\oplus$, $\otimes$, $\star$, $\blacklozenge$ ж. б. Амалдын аныктамасы ар дайым түз эле тапшырмада берилет, мисалы:

$a \star b = 2a + b$

Бул жазуу — жөн гана нускама: «биринчи санды алып, $2$ге көбөйт да, экинчисин кош». Эч нерсе жаттоонун кереги жок — бардык маалымат шартта бар. Мындай маселелер формулаларды билүүнү эмес, көңүл коюуну жана эреже боюнча так иштөөнү текшерет.

Чыгаруу алгоритми

1. Аныктаманы окугула жана амал биринчи жана экинчи аргумент менен эмне кыларын түшүнгүлө.
2. Сандарды так өз орундарына койгула: символдун сол жагында турганы $a$нын ордуна, оң жагындагысы — $b$нин ордуна барат.
3. Кадимки арифметикалык амалдар менен эсептегиле.

Мисал. $a \star b = 2a + b$ болсун. $4 \star 7$ни табабыз:

$4 \star 7 = 2 \cdot 4 + 7 = 8 + 7 = 15$

Мында $a = 4$ (биринчи сан), $b = 7$ (экинчи сан).

Аргументтердин тартиби — башкы тузак

Жалпы учурда $a \star b \ne b \star a$! Ошол эле $a \star b = 2a + b$ амалы үчүн:

$7 \star 4 = 2 \cdot 7 + 4 = 18, \qquad 4 \star 7 = 15$

Натыйжалар ар башка, анткени эки эселөө так биринчи санга колдонулат. Тапшырма түзүүчүлөр ушул катага эсеп кылышат: жооптордун арасында дээрлик ар дайым «алмаштырылган» тартиптин мааниси болот. Ошондуктан коюудан мурун ар дайым белгилегиле: кайсы аргумент биринчи, кайсынысы экинчи.

Коммутативдүүлүк: тартип качан маанилүү эмес

Эгер каалагандай $a$ жана $b$ үчүн $a \star b = b \star a$ болсо, амал коммутативдүү деп аталат. Бул $a$ менен $b$ аныктамага симметриялуу киргенде болот:

$a \oplus b = ab + a + b \quad \Rightarrow \quad b \oplus a = ba + b + a = a \oplus b$

Мисалы, $3 \oplus 7 = 21 + 3 + 7 = 31$ жана $7 \oplus 3 = 21 + 7 + 3 = 31$ — барабар. Ал эми $a \star b = 2a + b$ симметриялуу эмес: $a$ менен $b$нин коэффициенттери ар башка, демек тартип маанилүү. Тез текшерүү: формулада $a$ менен $b$ни оюңарда орун алмаштыргыла — формула өзгөрбөсө, амал коммутативдүү.

Кабатталган амалдар

Амал бир нече жолу колдонулушу мүмкүн. Эреже кадимки арифметикадагы кашаалардай эле: адегенде ички амалды эсептейбиз, андан кийин тышкысын. $a \star b = 2a + b$ болсун. $2 \star (3 \star 1)$ди табабыз:

1. Ичкиси: $3 \star 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.
2. Тышкысы: $2 \star 7 = 2 \cdot 2 + 7 = 11$.

Маанилүү: кашаалардын жайгашуусу да натыйжага таасир этет. Ошол эле амал үчүн

$(2 \star 3) \star 1 = 7 \star 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15 \ne 11$

Башкача айтканда, жаңы амал, адатта, ассоциативдүү да эмес — кашааларды которуштурууга болбойт.

ЖРТ-кеңеш

Жаңы амал менен чоңдуктарды салыштыруу тапшырмаларында эки колонканы тең «түз» эсептөөгө шашылбагыла. Адегенде аныктамага карагыла: эгер амал $a$ жана $b$ боюнча симметриялуу болуп, колонкаларда $a \star b$ менен $b \star a$ турса, анда чоңдуктар эч кандай эсептөөсүз барабар. Эгер формула симметриялуу эмес болсо — ичиңерден «биринчи сан — $a$нын ордуна, экинчиси — $b$нин ордуна» деп кайталап, кылдат койгула. Ал эми колонкаларда мааниси чектелбеген тамга (мисалы, $x$) болсо, эки-үч ар башка санды текшергиле: салыштыруунун белгилери ар башка чыкса — жооп «маалымат жетишсиз».