Чоңдуктарды салыштыруу техникасы

ЖРТдагы маселенин форматы

ЖРТнын I бөлүгүндө эки чоңдук берилет — А колонкасында жана Б колонкасында. Төрт жооптун бирин тандоо керек: А чоң, Б чоң, чоңдуктар барабар же маалымат жетишсиз. Ар бир маселеге — болжол менен бир мүнөт, ошондуктан негизги принцип: эсептебей, салыштыруу. Дээрлик ар дайым толук эсептөөсүз жооп берүүчү ыкма табылат.

1-ыкма. Жалпыны алып салуу

Эгер эки колонкада тең бирдей бөлүк болсо — аны оюңарда алып салып, калгандарын салыштыргыла.

Мисал. А: $3456 + 789$; Б: $3457 + 788$. Кошпойбуз! Бөлүктөрү боюнча салыштырабыз: Б колонкасында биринчи кошулуучу $1$ге чоң, ал эми экинчиси $1$ге кичине. Айырма $А - Б = -1 + 1 = 0$ — чоңдуктар барабар.

2-ыкма. Жалпы оң көбөйтүүчүгө бөлүү

Эгер эки чоңдук тең оң болуп, жалпы көбөйтүүчүсү болсо — эки колонканы тең ага бөлгүлө. Оң санга бөлгөндө барабарсыздыктын белгиси өзгөрбөйт.

Мисал. А: $2^{100} + 2^{99}$; Б: $2^{101}$. Эки колонканы тең $2^{99}$га бөлөбүз: А колонкасы $2 + 1 = 3$ болот, Б — $2^2 = 4$. Демек, Б чоң.

3-ыкма. Эталон менен салыштыруу

Чоңдуктарды өз ара салыштырбагыла — ар бирин ыңгайлуу «маяк» менен салыштыргыла: $0$, $1$ же $\frac{1}{2}$.

Мисал. А: $\frac{7}{15}$; Б: $\frac{9}{17}$. $15$тин жарымы — $7{,}5$, демек $\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$. $17$нин жарымы — $8{,}5$, демек $\frac{9}{17} > \frac{1}{2}$. Жооп: Б чоң — эч кандай жалпы бөлүмсүз.

Даражалар үчүн пайдалуу эталон: эгер $0 < x < 1$ болсо, анда $x^2 < x$ (квадрат санды «кичирейтет»).

4-ыкма. Жалпы түргө келтирүү

Эгер эталон жардам бербесе, чоңдуктарды бирдей формага келтиргиле: бөлчөктөрдү — жалпы бөлүмгө (же крест-накрест көбөйткүлө), даражаларды — жалпы негизге же жалпы көрсөткүчкө.

Мисал. А: $2^{30}$; Б: $3^{20}$. Жалпы көрсөткүч $10$: $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$, ал эми $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. $9 > 8$ болгондуктан, Б чоң — көрсөткүч $30$ «салмактуураак» көрүнсө да.

5-ыкма. Квадратка көтөрүү

Тамырларды квадраттары аркылуу салыштыруу ыңгайлуу, бирок эреже оң чоңдуктар үчүн гана иштейт: эгер $a > 0$ жана $b > 0$ болсо, анда $a > b \Leftrightarrow a^2 > b^2$.

Мисал. А: $\sqrt{3} + \sqrt{5}$; Б: $\sqrt{2} + \sqrt{6}$. Эки чоңдук тең оң. Квадраттары: $А^2 = 8 + 2\sqrt{15}$, $Б^2 = 8 + 2\sqrt{12}$. $\sqrt{15} > \sqrt{12}$ болгондуктан, А чоң.

Терс сандар үчүн бул ыкма иштебейт: $-5 < 2$, бирок $(-5)^2 > 2^2$.

6-ыкма. Болжолдоп баалоо

Кээде орой баалоо эле жетиштүү: санда канча цифра бар, ал кайсы «тегерек» маанилердин ортосунда жатат.

Мисал. А: $2^{10}$; Б: $10^3$. Жаттап алуу керек: $2^{10} = 1024 > 1000$. А чоң. $2^{10} \approx 10^3$ фактысы даражаларды баалоодо көп жардам берет.

«Маалымат жетишсиз» деп качан тандоо керек

Эгер колонкаларда өзгөрмө болсо, ар кандай типтеги маанилерди текшергиле: чоң санды, $0$ менен $1$дин ортосундагы санды, бирди, нөлдү, терс санды (эгер шарт уруксат берсе).

Мисал. А: $x^2$; Б: $x$, мында $x > 0$. $x = 2$ болгондо: $4 > 2$, А чоң. $x = \frac{1}{2}$ болгондо: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$, Б чоң. Натыйжа $x$ке көз каранды — маалымат жетишсиз.

Бирок сак болгула: өзгөрмөнүн бар болушу эле «жетишсиз» дегенди билдирбейт. Мисалы, каалагандай $x$ үчүн $x^2 + 1$ жана $x^2$ чоңдуктары бир маанилүү салыштырылат: А чоң.

ЖРТ-кеңеш

Эгер «чоңдуктар барабар» деген жооп биринчи караганда эле айкын көрүнсө — эки жолу текшергиле: түзүүчүлөр колонкаларды «дээрлик барабар» кылганды жакшы көрүшөт. Классикалык тузак: $(3+4)^2$ жана $3^2 + 4^2$ окшош көрүнөт, бирок $49 \ne 25$ — сумманын квадраты квадраттардын суммасына барабар эмес. Тескерисинче да болот: башкача көрүнгөндөр барабар болуп чыгышы мүмкүн, мисалы $\sqrt{50} - \sqrt{2}$ жана $\sqrt{32}$ (экөө тең $4\sqrt{2}$ге барабар). Ыкма менен текшерүүгө 10 секунд короткула — бул жоготулган балдан алда канча арзан.