Квадраттык тамыр

Арифметикалык квадраттык тамыр деген эмне

Терс эмес $a$ санынын арифметикалык квадраттык тамыры деп $b^2 = a$ шартын канааттандырган терс эмес $b$ саны аталат. Белгилениши: $\sqrt{a} = b$.

Мисалы, $\sqrt{25} = 5$, анткени $5^2 = 25$ жана $5 \geq 0$. $(-5)^2 = 25$ да туура болгону менен, тамыр катары терс эмес маани $5$ гана эсептелет.

Эгерде сан терс болсо, тамырдын алдынан маани чыгарууга болбойт: $\sqrt{-9}$ туюнтмасы аракеттеги сандардын арасында мааниге ээ эмес. Ошондуктан тамырдын аныкталуу облусу — бул $a \geq 0$.

$1$ден $20$га чейинки сандардын квадраттарын жатка билүү пайдалуу: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, \ldots$ — бул ЖРТдагы маселелерди чечүүнү кыйла тездетет.

Маанилүү теңдештик: $\sqrt{a^2} = |a|$

Көп кездешкен ката — $\sqrt{a^2} = a$ деп жазуу. Эгерде $a$ терс болсо, бул туура эмес! Туура формула:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Мисал. $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|$. Эгерде $\sqrt{(-7)^2} = -7$ деп жазсак, терс сан алмакпыз, ал эми тамыр ар дайым терс эмес.

Квадраттык тамырдын касиеттери

$a \geq 0$, $b \geq 0$ болгондо (бөлүндүдө $b \ne 0$) төмөнкү барабардыктар аткарылат:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

ЖРТ-кеңеш. Дистракторлордун классикалык тузагы: $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Мисалы, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, ал эми $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4 = 7$. Суммадан алынган тамыр тамырлардын суммасына барабар эмес — тамырдын алдында кошууга жана кемитүүгө болбойт, көбөйтүүгө жана бөлүүгө гана болот.

Тамырдын алдынан көбөйтүүчүнү чыгаруу

Эгерде тамырдын алдында толук квадрат болгон көбөйтүүчү болсо, аны сыртка чыгарууга болот:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Мисал. $\sqrt{72}$ туюнтмасын жөнөкөйлөткүлө. Ажыратабыз: $72 = 36 \cdot 2$, мында $36$ — толук квадрат. Анда $\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Көбөйтүүчүнү тамырдын алдына киргизүү

Тескери амал — тамырдын алдындагы коэффициентти квадратка көтөрүп, тамырдын ичине киргизүү:

$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$

Мисал. Көбөйтүүчүнү тамырдын алдына киргизгиле: $3\sqrt{7}$. $3$тү квадратка көтөрөбүз: $3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$.

Бул амал тамырларды салыштырууда өзгөчө пайдалуу: $3\sqrt{7}$ менен $5\sqrt{2}$ни салыштыруу үчүн эки көбөйтүүчүнү тең тамырдын алдына киргизип, тамыр алдындагы сандарды салыштырабыз:

$3\sqrt{7} = \sqrt{63}, \qquad 5\sqrt{2} = \sqrt{50}$

$63 > 50$ болгондуктан, $\sqrt{63} > \sqrt{50}$, демек $3\sqrt{7} > 5\sqrt{2}$.

Тамырды салыштыруу жана бүтүн сандардын ортосунда баалоо

Тамыр кайсы бүтүн сандардын ортосунда жатканын түшүнүү үчүн (мисалы, $\sqrt{40}$) тамыр алдындагы сан кайсы эки коңшу толук квадраттын ортосунда турганын табуу керек:

$36 < 40 < 49 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{36} < \sqrt{40} < \sqrt{49} \quad\Rightarrow\quad 6 < \sqrt{40} < 7$

Демек, $\sqrt{40}$ — бул $6$ менен $7$нин ортосундагы сан, $6$га жакыныраак (анткени $40$ саны $49$га караганда $36$га жакын).

Мисал. $\sqrt{85}$ кайсы бүтүн сандардын ортосунда жатат? Эң жакын толук квадраттар: $81 = 9^2$ жана $100 = 10^2$. $81 < 85 < 100$ болгондуктан, $9 < \sqrt{85} < 10$ алабыз.

ЖРТ-кеңеш

Экзаменде тамырларды көбүнчө эсептөө эмес, салыштыруу керек болот. Ар дайым мындай эреже иштейт: тамыр алдындагы сан канчалык чоң болсо (тамырдын көрсөткүчү бирдей жана сандар терс эмес болгондо), тамырдын өзү да ошончолук чоң. Эки туюнтманы тең бир түргө келтиргиле — же экөөнү тең тамырдын алдына киргизгиле (көбөйтүүчүнү киргизүү), же экөөнөн тең көбөйтүүчүнү чыгаргыла — жана тамырдын ичиндегисин салыштыргыла. $\sqrt{a^2} = |a|$ формуласындагы модулду унутпагыла — бул тесттердеги эң көп кездешкен каталардын бири.