Сандын стандарттык түрү

Сандын стандарттык түрү деген эмне

Сандын стандарттык түрү (илимий жазылышы) — бул санды төмөнкүдөй жазуу:

$a \cdot 10^n,$

мында $1 \le a < 10$, ал эми $n$ — бүтүн сан.

Мындай жазуу өтө чоң жана өтө кичине сандар үчүн ыңгайлуу: узун нөлдөр чынжырынын ордуна биз сандын маанилүү цифраларын жана анын «масштабын» көрсөткөн даражаны көрөбүз.

Мисалы: $5\,340\,000 = 5{,}34 \cdot 10^6$, ал эми $0{,}0000723 = 7{,}23 \cdot 10^{-5}$.

Чоң санды стандарттык түргө келтирүү

Чоң санды стандарттык түрдө жазуу үчүн биринчи маанилүү цифрадан кийин үтүр коюп, ал канча разрядга солго жылганын саноо керек — бул даражанын $n$ көрсөткүчү болот (оң сан).

Мисал. $47\,000\,000$ санын стандарттык түрдө жазгыла.

1. Биринчи маанилүү цифра — $4$. Андан кийин үтүр коёбуз: $4{,}7$.
2. Үтүрдүн жылышын санайбыз: ал $7$ разрядга солго жылды.
3. Алабыз: $47\,000\,000 = 4{,}7 \cdot 10^7$.

Кичине санды стандарттык түргө келтирүү

$1$ден кичине сандар үчүн үтүр оңго жылат, ошондуктан даражанын көрсөткүчү терс болот.

Мисал. $0{,}00058$ санын стандарттык түрдө жазгыла.

1. Биринчи маанилүү (нөл эмес) цифра — $5$. Андан кийин үтүр коёбуз: $5{,}8$.
2. Жылышты санайбыз: үтүр $4$ разрядга оңго жылды.
3. Алабыз: $0{,}00058 = 5{,}8 \cdot 10^{-4}$.

Тескери өтүү дал ушундай, бирок карама-каршы багытта жасалат: $10^n$ даражасы үтүрдү кайсы жакка жана канча разрядга жылдыруу керектигин көрсөтөт. Мисалы, $3{,}1 \cdot 10^5 = 310\,000$ (үтүр $5$ разрядга оңго жылат), ал эми $3{,}1 \cdot 10^{-5} = 0{,}000031$ ($5$ разрядга солго).

Стандарттык түрдөгү сандарды көбөйтүү жана бөлүү

Мантиссалар ($a$ сандары) өз ара көбөйтүлөт же бөлүнөт, ал эми $10^n$ даражалары — даражалардын эрежелери боюнча: $10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$.

Көбөйтүү мисалы. $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5) = (3 \cdot 2) \cdot 10^{4+5} = 6 \cdot 10^9$.

Эгерде мантиссаларды көбөйткөндөн кийин сан $[1; 10)$ аралыгынан чыгып кетсе, аны кайра нормалдаштыруу керек:

$(5 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^6) = 20 \cdot 10^9 = 2 \cdot 10^{10}.$

Бөлүү мисалы. $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3) = 4 \cdot 10^{7-3} = 4 \cdot 10^4$.

Стандарттык түрдөгү сандарды салыштыруу

Стандарттык түрдөгү эки санды салыштыруу үчүн адегенде даражалардын көрсөткүчтөрүн салыштырышат: $n$ канчалык чоң болсо, сан ошончолук чоң (эки учурда тең $1 \le a < 10$ болгон шартта). Эгерде көрсөткүчтөр барабар болсо, мантиссаларды салыштырышат.

Мисал. $3{,}5 \cdot 10^8$ жана $4{,}2 \cdot 10^7$ сандарын салыштыргыла.

Биринчи сандын даражасынын көрсөткүчү чоң ($8 > 7$), демек $3{,}5 \cdot 10^8 > 4{,}2 \cdot 10^7$ — мантисса $3{,}5$ саны $4{,}2$ден кичине болгонуна карабастан.

Практикалык мисалдар

Стандарттык түр калктын саны, өлчөмдөр жана башка чоң же кичине чоңдуктар жөнүндөгү маселелерде көп кездешет.

• Жердин калкы: болжол менен $8 \cdot 10^9$ адам.
• Кыргызстандын калкы: болжол менен $7 \cdot 10^6$ адам.
• Эритроциттин (кан клеткасынын) диаметри: болжол менен $7 \cdot 10^{-6}$ м.
• Бактериянын өлчөмү: болжол менен $2 \cdot 10^{-6}$ м.

Ошентип, Жердин калкы Кыргызстандын калкынан

$\frac{8 \cdot 10^9}{7 \cdot 10^6} \approx 1{,}14 \cdot 10^3 \approx 1143 \text{ эсе көп}.$

ЖРТ-кеңеш. Экзаменде көп учурда «тузак» беришет: $35 \cdot 10^5$ сыяктуу сан стандарттык түргө окшош көрүнөт, бирок андай эмес, анткени $35 > 10$. Туура жазылышы — $3{,}5 \cdot 10^6$. Мантисса так $1$ден $10$го чейинки аралыкта ($10$ду кошпогондо) жатканын ар дайым текшергиле.

Ошондой эле салыштырууда көңүл коюп болгула: эгерде сандардын даражаларынын көрсөткүчтөрү ар башка болсо, мантиссаларды салыштырууга убакыт коротпой, дароо көрсөткүчтөргө карагыла.