Бүтүн көрсөткүчтүү даражалар

Даража деген эмне

$a$ санынын натуралдык $n$ көрсөткүчтүү даражасы деп $n$ бирдей көбөйтүүчүнүн көбөйтүндүсү аталат:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ жолу}}$

$a$ саны даражанын негизи, ал эми $n$ — даражанын көрсөткүчү деп аталат.

Мисалы: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

Даражалардын негизги касиеттери

Эгерде негиздер бирдей болсо, даражаларды көбөйткөндө көрсөткүчтөр кошулат, ал эми бөлгөндө — кемитилет:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad a^m : a^n = a^{m-n} \; (a \neq 0)$

Мисал. $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$.

Даражаны даражага көтөргөндө көрсөткүчтөр көбөйтүлөт:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Мисал. $(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$.

Көбөйтүндүнүн даражасы ар бир көбөйтүүчүнүн даражаларынын көбөйтүндүсүнө барабар:

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Мисал. $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$. Текшерүү оңой: $10^3 = 1000$.

Бөлүндү үчүн да ушундай эле: $b \neq 0$ болгондо $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$.

Нөлдүк көрсөткүчтүү даража

Нөлдөн башка ар кандай сандын нөлдүк даражасы бирге барабар:

$a^0 = 1, \qquad a \neq 0$

Бул даражаларды бөлүү касиетинен келип чыгат: $a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$, ал эми өзүнө өзү бөлүнгөн ар кандай сан $1$ге барабар. $0^0$ туюнтмасы аныкталган эмес.

Мисал. $7^0 = 1$, $(-15)^0 = 1$, бирок $0^0$ мааниге ээ эмес.

Терс бүтүн көрсөткүчтүү даража

Эгерде даражанын көрсөткүчү терс бүтүн сан болсо, анда даража оң көрсөткүчтүү даражага тескери бөлчөккө барабар:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a \neq 0$

Мисал. $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$.

Бул эрежени калган касиеттер менен бириктирип колдонуу ыңгайлуу. Мисалы:

$\frac{a^5}{a^{-2}} = a^{5-(-2)} = a^7$

Мисал. $5^{-2} \cdot 5^4$ туюнтмасын эсептейли. Көрсөткүчтөр кошулат: $5^{-2+4} = 5^2 = 25$.

Даражаларды салыштыруу

ЖРТда даражалуу туюнтмаларды салыштыруу тапшырмалары көп кездешет. Бул жерде даражаны толугу менен эсептебей, касиеттерди колдонуу маанилүү:

• Эгерде негиздер барабар жана $1$ден чоң болсо, анда көрсөткүчү чоң даража чоң болот: $2^5 > 2^3$, анткени $5 > 3$.
• Эгерде көрсөткүчтөр барабар, ал эми негиздер оң болсо, негизи чоң даража чоң болот: $3^4 > 2^4$.
• $0 < a < 1$ аралыгындагы негиз үчүн көз карандылык тескери: көрсөткүч канчалык чоң болсо, даражанын мааниси ошончолук кичине болот. Мисалы, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 < \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$.
• Терс көрсөткүч $1$ден чоң сандын даражасын бирден кичине кылат: $2^{-4} = \dfrac{1}{16} < 1$.

Мисал. $3^4$ жана $4^3$ сандарын салыштыргыла. Эсептейли: $3^4 = 81$, $4^3 = 64$. Демек, $3^4 > 4^3$ — $4^3$түн негизи чоң болгонуна карабастан. Негиздер да, көрсөткүчтөр да ар башка болгондо, эсептөөнү аягына чейин жеткирүү эң ишенимдүү жол.

ЖРТ-кеңеш

Экзаменде калькулятор колдонууга болбойт, ошондуктан:

1. Адегенде сандарды түз эсептебей, даражалардын касиеттерин колдонууга аракет кылгыла (көрсөткүчтөрдү кошуу же кемитүү, көбөйтүүчүлөрдү бириктирүү) — бул убакытты үнөмдөйт.
2. Эсиңерде болсун: $a^{-n}$ — бул «минус сан» эмес, $\dfrac{1}{a^n}$ бөлчөгү. Көрсөткүчтүн белгисин сандын өз белгиси менен чаташтыруу — көп кездешкен ката.
3. Даражаларды көбөйткөндө көрсөткүчтөрдү кошкула, көбөйтпөгүлө — көрсөткүчтөр даражаны даражага көтөргөндө гана көбөйтүлөт: $(a^m)^n$.
4. Эгерде негиздер ар башка, ал эми көрсөткүчтөр бирдей болсо — адегенде жалпы негизге келтирип көргүлө (мисалы, $4 = 2^2$), бул көбүнчө салыштырууну жеңилдетет.