Цилиндр, конус, шар

Цилиндр

Цилиндр — тик бурчтукту анын бир жагынын айланасында айландырганда пайда болгон дене. Цилиндрдин радиусу $r$ болгон эки барабар тегерек негизи жана бийиктиги $h$ болгон каптал бети бар.

Цилиндрдин көлөмү:

$V = \pi r^2 h$

Каптал беттин аянты (цилиндрдин каптал бөлүгүн жайып койсок, тик бурчтук чыгат: анын бир жагы — негизинин айланасынын узундугу $2\pi r$, экинчиси — бийиктиги $h$):

$S_{\text{капт}} = 2\pi r h$

Толук бет — каптал бет плюс эки тегерек негиз:

$S_{\text{толук}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r)$

Мисал. $r = 4$ см, $h = 3$ см болгон цилиндр берилген.

• Көлөмү: $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 48\pi$ см³.
• Каптал бети: $S_{\text{капт}} = 2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 24\pi$ см².
• Толук бети: $S_{\text{толук}} = 2\pi \cdot 4 \cdot (3 + 4) = 56\pi$ см².

Конус

Конус тик бурчтуу үч бурчтукту анын бир катетинин айланасында айландыруудан пайда болот. Негизинин радиусу $r$, бийиктиги $h$, ал эми үчүнчү маанилүү элемент — жасоочу $l$: конустун чокусунан негизинин четине чейинки кесинди.

Бийиктик, радиус жана жасоочу тик бурчтуу үч бурчтук түзөт, ошондуктан жасоочу Пифагор теоремасы менен табылат:

$l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Конустун көлөмү — ошол эле $r$ жана $h$ менен алынган цилиндрдин көлөмүнөн үч эсе кичине:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Каптал беттин аянты:

$S_{\text{капт}} = \pi r l$

Толук бет:

$S_{\text{толук}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$

Мисал. $r = 3$ см, $h = 4$ см болгон конус берилген.

Адегенде жасоочуну табабыз: $l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см. ($3, 4, 5$ сандары — классикалык Пифагор үчилтиги, ЖРТ мындай маалыматтарды жакшы көрөт.)

• Көлөмү: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 = 12\pi$ см³.
• Каптал бети: $S_{\text{капт}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$ см².
• Толук бети: $S_{\text{толук}} = \pi \cdot 3 \cdot (5 + 3) = 24\pi$ см².

Шар

Шар — бетинин бардык чекиттери борборунан бирдей $r$ (радиус) аралыкта жайгашкан дене.

Шардын көлөмү:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Шардын бетинин аянты:

$S = 4\pi r^2$

Мисал. $r = 6$ см болгон шар берилген.

• Көлөмү: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$ см³.
• Бети: $S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi$ см².

Цилиндр менен конустун көлөмдөрүн салыштыруу

Эгерде цилиндр менен конустун негизинин радиусу $r$ жана бийиктиги $h$ бирдей болсо, алардын көлөмдөрү жөнөкөй катыш менен байланышкан: цилиндрдин көлөмү конустун көлөмүнөн так 3 эсе чоң. Бул формулалардан эле көрүнүп турат — конус $\frac{1}{3}$ көбөйткүчү менен гана айырмаланат.

Мисал менен текшерүү $r = 3$, $h = 4$ (жогорудагы конус мисалындагы эле сандар):

• Цилиндрдин көлөмү: $V_{\text{цил}} = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi$ см³.
• Конустун көлөмү: $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi$ см³.

Чындыгында, $36\pi = 3 \cdot 12\pi$ — цилиндр так 3 эсе чоң.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда калькулятор колдонууга уруксат жок, ошондуктан жооптор дээрлик ар дайым $k\pi$ түрүндө калтырылат — $\pi \approx 3{,}14$ маанисин коюуга аракет кылбагыла, бул ашыкча жумуш жана тегеректөө каталарынын булагы. Конустун жасоочусу үчүн $3$-$4$-$5$ үчилтигин жаттап алгыла: эгерде шарттан $r = 3$ жана $h = 4$ (же аларга эселенген сандарды, мисалы $6$ жана $8$) көрсөңөр, жасоочу кагазга эсептебей эле заматта табылат. Жана салыштыруунун башкы эрежесин эсиңерде туткула: барабар $r$ жана $h$ болгондо цилиндр = 3 × конус — бул чоңдуктарды салыштыруу тапшырмаларында көп кездешет.