Тегиздиктеги жана мейкиндиктеги координаталар

Координаталык тегиздик

Координаталык тегиздик эки перпендикуляр сан огунан турат: горизонталдык $Ox$ огу (абсциссалар огу) жана вертикалдык $Oy$ огу (ординаталар огу). Алардын кесилишкен чекити координаталардын башталышы деп аталып, $O(0, 0)$ менен белгиленет.

Тегиздиктин ар бир чекитине $(x, y)$ сандар жубу дал келет: $x$ — абсцисса (координаталардын башталышынан горизонталь боюнча аралык), $y$ — ордината (вертикаль боюнча аралык). Мисалы, $A(3, 5)$ чекити координаталардын башталышынан $3$ бирдик оң жакта жана $5$ бирдик жогору жайгашкан.

Координаталык тегиздиктин чейректери

$Ox$ жана $Oy$ октору тегиздикти төрт чейрекке бөлөт, алар оң жогорку чейректен баштап саат жебесине каршы багытта номерленет:

• I чейрек: $x > 0$, $y > 0$
• II чейрек: $x < 0$, $y > 0$
• III чейрек: $x < 0$, $y < 0$
• IV чейрек: $x > 0$, $y < 0$

Эгерде жок дегенде бир координата нөлгө барабар болсо, чекит чейректин ичинде эмес, окто жатат. Мисалы, $(0, -6)$ чекити $Oy$ огунда жатат (абсциссасы нөлгө барабар), ал эми $(4, 0)$ чекити — $Ox$ огунда (ординатасы нөлгө барабар).

Чейректи тез аныктоо үчүн координаталардын белгилерин кароо эле жетиштүү — эч нерсе эсептөөнүн кереги жок. Ошентип, $(2, 7)$, $(-2, 7)$, $(-2, -7)$ жана $(2, -7)$ чекиттери тиешелүү түрдө I, II, III жана IV чейректерде жатат.

Мисал. $M(-6, 4)$ чекити: абсциссасы терс, ординатасы оң — демек, $M$ II чейректе жайгашкан.

Эки чекиттин ортосундагы аралык

$A(x_1, y_1)$ жана $B(x_2, y_2)$ чекиттеринин ортосундагы аралык формула менен табылат, ал маңызы боюнча катеттери $|x_2 - x_1|$ жана $|y_2 - y_1|$ болгон тик бурчтуу үч бурчтук үчүн Пифагор теоремасы:

$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Мисал. $(0, 0)$ жана $(3, 4)$ чекиттеринин ортосундагы аралыкты табабыз:

$d = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

ЖРТда мындай маселелер дээрлик ар дайым тамырдын астында так квадрат чыгарылып түзүлөт — Пифагор үчилтиктерин таанып билгиле: $3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$, $9$-$12$-$15$.

Кесиндинин ортосу

Учтары $A(x_1, y_1)$ жана $B(x_2, y_2)$ болгон кесиндинин ортосунун координаталары — тиешелүү координаталардын арифметикалык ортосу:

$x_c = \frac{x_1+x_2}{2}, \qquad y_c = \frac{y_1+y_2}{2}$

Мисал. Учтары $A(-5, 3)$ жана $B(9, -7)$ болгон кесиндинин ортосу:

$x_c = \frac{-5+9}{2}=2, \qquad y_c = \frac{3+(-7)}{2}=-2$

Демек, ортосу — $(2, -2)$ чекити.

Окторго жана координаталардын башталышына карата симметрия

$A(x, y)$ чекити үчүн симметриялуу чекиттер мындай түзүлөт:

• $Ox$ огуна карата: $y$тин гана белгиси өзгөрөт → $(x, -y)$
• $Oy$ огуна карата: $x$тин гана белгиси өзгөрөт → $(-x, y)$
• координаталардын башталышына карата: эки координатанын тең белгилери өзгөрөт → $(-x, -y)$

Мисал. $A(5, -3)$ чекити үчүн: $Ox$ко карата симметриялуу чекит — $(5, 3)$; $Oy$га карата — $(-5, -3)$; координаталардын башталышына карата — $(-5, 3)$.

Мейкиндиктеги координаталар

Мейкиндикте $Oxy$ тегиздигине перпендикуляр үчүнчү $Oz$ огу кошулат. Чекиттин абалы $(x, y, z)$ сандар үчилтиги менен берилет.

$A(x_1,y_1,z_1)$ жана $B(x_2,y_2,z_2)$ чекиттеринин ортосундагы аралык окшош формула менен табылат — «үч ченемдеги» Пифагор теоремасы:

$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

Мисал. $A(1, 2, 3)$ жана $B(4, 6, 15)$ чекиттеринин ортосундагы аралык:

$d = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(15-3)^2} = \sqrt{9+16+144} = \sqrt{169} = 13$

ЖРТ-кеңеш

«Сулуу эмес» тамырларды чыгарууга убакыт коротпогула — эгерде маселе туура түзүлгөн болсо, тамырдын астында ар дайым так квадрат чыгат. Бир нече Пифагор үчилтигин алдын ала жаттап алгыла ($3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $9$-$12$-$15$) — бул толук эсептөөгө чейин эле координаталардын айырмалары боюнча жоопту божомолдоого мүмкүндүк берет. Чейректи аныктоодо $x$ жана $y$тин белгилерин гана кароо жетиштүү — эч нерсе эсептөөнүн кереги жок.