Параллелепипед жана призма

Тик бурчтуу параллелепипед

Тик бурчтуу параллелепипед — бул бардык алты жагы тик бурчтук болгон дене (жөнөкөй мисал — коробка же бөлмө). Анын формасы үч ченеми менен аныкталат: узундугу $a$, туурасы $b$ жана бийиктиги $c$.

Көлөм — бул үч ченемдин тең көбөйтүндүсү:

$V = a \cdot b \cdot c$

Беттин аянты — алты жактын аянттарынын суммасы. Жактар жуп-жубу менен барабар ($a \times b$, $b \times c$, $a \times c$ жактарынан экиден), ошондуктан:

$S = 2(ab + bc + ac)$

Параллелепипеддин диагоналы — бул карама-каршы чокуларды дененин ичи аркылуу бириктирген кесинди. Ал Пифагор теоремасына окшош, бирок үч ченем үчүн жазылган формула менен табылат:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Мисал. Ченемдери $3$, $4$ жана $12$ см болгон параллелепипед берилген. Анын диагоналын табабыз:

$d^2 = 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169, \qquad d = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$

Мындай «сулуу» сан үчилтиктери (мисалы, $3,4,12,13$ же $1,4,8,9$) маселелерде атайын тандалат — диагональ калькуляторсуз эле табылышы үчүн, анткени ЖРТда калькулятор жок.

Куб — параллелепипеддин өзгөчө учуру

Куб — бул үч ченеми тең барабар болгон тик бурчтуу параллелепипед: $a = b = c$. Формулалар жөнөкөйлөнөт:

$V = a^3, \qquad S = 6a^2, \qquad d = a\sqrt{3}$

Мисал. Кубдун кыры $a = 5$ см. Анда $V = 5^3 = 125$ см³, ал эми $S = 6 \cdot 25 = 150$ см².

Байкагыла: кубдун диагоналы $d = a\sqrt{3}$ дээрлик ар дайым тамыр менен чыгат — ал эми параллелепипеддин диагоналы ЖРТ маселелеринде адатта бүтүн сан болуп тандалат.

Түз призма

Призма — бул эки барабар жана параллель негизи (ал үч бурчтук, төрт бурчтук ж. б. болушу мүмкүн) жана параллелограмм түрүндөгү каптал жактары бар дене. Эгерде каптал кырлары негизге перпендикуляр болсо, призма түз деп аталат.

Каалаган түз призманын көлөмү бирдей табылат — негизинин аянты $S_{\text{нег}}$ жана бийиктиги $h$ аркылуу:

$V = S_{\text{нег}} \cdot h$

Тик бурчтуу параллелепипед — бул негизи тик бурчтук болгон түз призманын өзгөчө учуру.

Мисал. Түз призманын негизинде катеттери $9$ см жана $12$ см болгон тик бурчтуу үч бурчтук жатат, призманын бийиктиги $7$ см. Негизинин аянты: $S_{\text{нег}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см². Көлөмү: $V = 54 \cdot 7 = 378$ см³.

Практикалык маселелер

Параллелепипеддин формулалары турмушта көп колдонулат.

Аквариум. Эгерде аквариумдун узундугу, туурасы жана бийиктиги сантиметр менен белгилүү болсо, анын көлөмү — $abc$ көбөйтүндүсү см³ менен. Литрге которуу үчүн $1$ л $= 1000$ см³ экенин колдонобуз.

Мисалы, $50 \times 40 \times 30$ см аквариум: $V = 50 \cdot 40 \cdot 30 = 60\,000$ см³ $= 60\,000 : 1000 = 60$ л.

Дубалдарды сырдоо. Бөлмөнүн дубалдарынын аянтын (пол менен шыпты кошпогондо) табуу үчүн параллелепипеддин каптал бетин эсептешет: негизинин периметрин бийиктикке көбөйтүшөт, башкача айтканда $2(a+b) \cdot h$, мында $a, b$ — бөлмөнүн узундугу жана туурасы.

ЖРТ-кеңеш

Көлөм менен беттин аянтынын формулаларын чаташтырбагыла — бул экзамендеги эң көп кездешкен ката. Көлөм — үч ченемдин көбөйтүндүсү ($V = abc$), ал эми беттин аянты — алты жактын суммасы ($S = 2(ab+bc+ac)$), анда ар дайым $2$ коэффициенти бар.

Диагональ үчүн даяр «мейкиндиктеги Пифагор үчилтиктерин» эсиңерде туткула: $1,4,8 \to 9$; $2,3,6 \to 7$; $3,4,12 \to 13$; $6,6,7 \to 11$. Эгерде маселедеги сандар ушул үчилтиктердин бирине дал келсе, жоопту бир да жолу мамычалап көбөйтпөй эле алууга болот.