Сандарга жана акчага карата маселелер

Тексттик маселелердин өзгөчө түрү

Бул темада — билеттер, товарлар, акча жана буюмдардын саны жөнүндөгү маселелер, аларда адатта эки белгисиз же бөлүүдөн калган калдык менен иштөө талап кылынат. Жөнөкөй «сүйлөмдү теңдемеге которуу» маселелеринен айырмаланып, бул жерде санды жана бааны өз ара туура байланыштыруу маанилүү, ал эми жооп ар дайым бүтүн сан болушу керек (даана, сом, автобус).

Эки белгисизи бар маселелер: ар кандай баадагы билеттер жана товарлар

Эгер шартта ар кандай баадагы эки түрдүү буюм болсо, эки өзгөрмө киргизебиз — бир түрдүн саны $x$ жана экинчи түрдүн саны $(N-x)$, мында $N$ — буюмдардын жалпы саны. Анда бардык буюмдардын наркы — бир теңдеме.

Мисал. Стадионго $200$ билет сатылды: чоңдор үчүн $150$ сомдон жана балдар үчүн $80$ сомдон. Түшкөн акча $25100$ сомду түздү. Чоңдор үчүн канча билет сатылган?

Чоңдордун билети $x$ болсун, анда балдардыкы — $200-x$. Түшкөн акча боюнча теңдеме түзөбүз:

$150x + 80(200-x) = 25100$

$150x + 16000 - 80x = 25100 \quad\Rightarrow\quad 70x = 9100 \quad\Rightarrow\quad x = 130$

Чоңдордун билети — $130$, балдардыкы — $70$. Текшерүү: $150\cdot130+80\cdot70 = 19500+5600=25100$. Туура.

«Жетпейт / ашып калат» маселелери

ЖРТда көп кездешүүчү тип: буюмдардын бир санын сатып алууда акча жетпейт, ал эми азыраак санын сатып алууда акча ашып калат. Негизги идея: «жетпей калган» менен «ашып калгандын» айырмасы — бул сатып алуунун эки вариантынын наркынын айырмасы.

Мисал. Эгер Уулан $6$ бирдей дептер сатып алса, ага $30$ сом жетпейт. Эгер $4$ дептер сатып алса, $90$ сом ашып калат. Ууланда канча сом бар?

Дептердин баасы $p$, ал эми Ууландын акчасы $M$ болсун. Анда:

$6p - M = 30, \qquad M - 4p = 90$

Теңдемелерди кошобуз — $M$ кыскарат:

$6p - M + M - 4p = 30 + 90 \quad\Rightarrow\quad 2p = 120 \quad\Rightarrow\quad p = 60$

Анда $M = 4\cdot 60 + 90 = 330$ сом. Текшерүү: $6\cdot 60 - 330 = 30$ (жетпейт), $330 - 4\cdot 60 = 90$ (ашып калат) — баары дал келет.

Калдык менен бөлүү: жогору карай тегеректөө

Адамдарды же буюмдарды белгиленген өлчөмдөгү топторго (автобустарга, кутуларга, таңгактарга) бөлүштүргөндө бөлүүнүн натыйжасы көбүнчө бүтүн эмес чыгат — анда топтордун жалпы санын ар дайым жогору карай тегеректешет, калдык такыр эле аз болсо да, анткени калгандар үчүн баары бир дагы бир топ керек.

Мисал. Лагерге $275$ бала барат, автобуска $45$ адам батат. Канча автобус керек?

$275 : 45 = 6{,}11\ldots$

Алты автобус жетпейт — алар болгону $6\cdot 45=270$ баланы алып кетет, ал эми $5$ бала калып калат. Демек, $7$ автобус керек.

Сюжеттердеги жуптук жана бөлүнүүчүлүк

Кээде объекттердин саны түз берилбей, бөлүнүүчүлүк касиеттери жана маанилердин диапазону аркылуу сүрөттөлөт. Анда жалпы эселиктерди иргеп чыгып, шарттарды кезеги менен колдонуу керек.

Мисал. Жаңгактардын саны $6$га да, $9$га да калдыксыз бөлүнөт. Жаңгактар $40$тан көп, бирок $80$ден аз экени, ал эми $7$ге бөлгөндө калдык $5$ке барабар экени белгилүү. Канча жаңгак бар?

$6$га да, $9$га да бөлүнгөн сан $\text{ЭКЖЭ}(6,9)=18$ге бөлүнөт. $40$ менен $80$дин ортосундагы $18$дин эселиктери: $54$ жана $72$. $7$ге бөлгөндөгү калдыкты текшеребиз: $54 = 7\cdot 7 + 5$ (калдык $5$, туура келет), $72 = 7\cdot 10 + 2$ (калдык $2$, туура келбейт). Демек, жаңгак — $54$.

ЖРТ-кеңеш

«Жетпейт / ашып калат» маселелеринде эки теңдемелүү системаны ар жолу жаңыдан түзбөгүлө — жөн гана эки айырманы кошкула ($30+90=120$), бул дароо эки эселенген бааны берет. Автобустар/таңгактар маселелеринде эч качан төмөн карай тегеректебегиле: эгер калдык нөлгө барабар болбосо, ар дайым дагы бир топ кошкула.