Кыймылга карата маселелер

Негизги формула: $S = vt$

Кыймылга карата маселелерде үч чоңдук бир формула менен байланышкан:

$S = vt$

мында $S$ — басып өткөн жол (аралык), $v$ — ылдамдык, $t$ — убакыт.

Андан дароо дагы эки формула келип чыгат:

$v = \frac{S}{t}, \qquad t = \frac{S}{v}$

Мисал. Бишкектен Ошко чейинки аралык автотрасса боюнча — $600$ км. Маршрутка $75$ км/саат ылдамдык менен жүрөт. Сапар канча убакытты алат?

$t = \frac{S}{v} = \frac{600}{75} = 8 \text{ саат}$

Бет маңдай кыймыл — ылдамдыктар кошулат

Эгер эки объект бир убакта бири-бирине каршы жолго чыкса, алардын ортосундагы аралык $v_1 + v_2$ ылдамдыгы менен кыскарат (жакындоо ылдамдыгы). Жолугушууга чейинки убакыт:

$t = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Мисал. Бишкектен жана Оштон (аралык $600$ км) бир убакта бет маңдай эки маршрутка $60$ км/саат жана $90$ км/саат ылдамдыктар менен чыкты. Алар канча сааттан кийин жолугушат?

$t = \frac{600}{60 + 90} = \frac{600}{150} = 4 \text{ саат}$

Кууп жетүү кыймылы — ылдамдыктар кемитилет

Эгер бир объект экинчисин кууп жетип бараткан болсо (бир багытта жүрүшөт), алардын ортосундагы аралык $v_1 - v_2$ ылдамдыгы менен кыскарат, мында $v_1$ — кууп жеткендин ылдамдыгы. Адегенде алыстоону (кубалоо башталган учурдагы алардын ортосундагы аралыкты) табуу маанилүү.

Мисал. Саат 7:00дө Бишкектен $45$ км/саат ылдамдык менен жүк ташуучу машина чыкты. Саат 8:00дө анын артынан ошол эле жол менен $90$ км/саат ылдамдыктагы жеңил машина чыкты. Ал өзү чыккандан канча саат кийин жүк ташуучу машинаны кууп жетет?

Саат 8:00гө чейин жүк ташуучу машина $45 \cdot 1 = 45$ км жүрүп үлгүргөн — бул алыстоо. Жакындоо ылдамдыгы: $90 - 45 = 45$ км/саат. Кубалоо убактысы:

$t = \frac{45}{45} = 1 \text{ саат}$

Дарыя боюнча кыймыл: агым боюнча жана агымга каршы

Дарыянын ылдамдыгы $v_{\text{агым}}$ болгон өз агымы бар, ал кайыкка (катерге) же жардам берет, же тоскоол болот:

$v_{\text{агым боюнча}} = v_{\text{өз}} + v_{\text{агым}}, \qquad v_{\text{агымга каршы}} = v_{\text{өз}} - v_{\text{агым}}$

Мисал. Катердин өз ылдамдыгы — $15$ км/саат, дарыянын агымынын ылдамдыгы — $5$ км/саат. Катер агым боюнча $80$ кмди канча саатта басып өтөт?

Агым боюнча ылдамдык: $15 + 5 = 20$ км/саат. Убакыт: $t = \dfrac{80}{20} = 4$ саат.

Орточо ылдамдык — сиз ойлогондой эмес!

Бул жерде ЖРТнын башкы тузагы жашырылган. Бүт жолдогу орточо ылдамдык $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$ катары эмес, төмөнкү формула боюнча эсептелет:

$v_{\text{орт}} = \frac{S_{\text{бүт жол}}}{t_{\text{бардык убакыт}}}$

Бул ар дайым иштейт. Бирок көп кездешүүчү учур бар — жол ар кандай $v_1$ жана $v_2$ ылдамдыктар менен бирдей узундуктагы бөлүктөр боюнча басып өтүлгөн. Анда:

$v_{\text{орт}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Бул гармоникалык орточо, жана ал кадимки орто арифметикалык $\dfrac{v_1+v_2}{2}$ маанисинен кичине.

Мисал. Жолдун биринчи жарымын ($120$ км) машина $60$ км/саат ылдамдык менен, экинчи жарымын ($120$ км) — $40$ км/саат ылдамдык менен жүрдү.

Биринчи жарымга кеткен убакыт: $\dfrac{120}{60} = 2$ саат. Экинчи жарымга кеткен убакыт: $\dfrac{120}{40} = 3$ саат. Бардыгы: $240$ км жол $5$ саатта.

$v_{\text{орт}} = \frac{240}{5} = 48 \text{ км/саат}$

Гармоникалык орточонун формуласы боюнча текшерүү: $\dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60+40} = \dfrac{4800}{100} = 48$ км/саат — дал келди.

Ал эми жөнөкөй жооп $\dfrac{60+40}{2} = 50$ км/саат — туура эмес! Катанын себеби: машина жай ылдамдыкта көбүрөөк убакыт жүргөн (2 саатка каршы 3 саат), ошондуктан орточо ылдамдык ортого эмес, кичине мааниге жакын жылат.

Гармоникалык орточо ар бир бөлүктөгү аралыктар барабар болгондо гана колдонулат. Эгер ар кандай ылдамдыктардагы кыймылдын убакыттары барабар болсо, анда орто арифметикалык $\dfrac{v_1+v_2}{2}$ чын эле туура — бирок ЖРТнын тексттик маселелеринде дээрлик ар дайым жолдун барабар бөлүктөрү жөнүндө сөз болот (мисалы, «барып келүү» же «жолдун биринчи жана экинчи жарымы»).

ЖРТ-кеңеш

Экзаменде «орточо ылдамдык» деген сөздөрдү «жолдун жарымы» же «барып келүү» менен бирге көрсөңүз, дароо $\dfrac{v_1+v_2}{2}$ жөнүндө унуткула — бул түзүүчүлөр атайын коюп кеткен тузак. Ар бир бөлүккө кеткен убакытты өзүнчө эсептеп, жалпы жолду жалпы убакытка бөлгүлө. Жана ар дайым текшергиле: гармоникалык орточо $\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ орто арифметикалыктан кичине болушу керек — эгер сизде тескерисинче чыкса, ката издегиле.