Тригонометриялык окшоштуктар

Негизги тригонометриялык окшоштук

Каалаган $\alpha$ бурчу үчүн барабардык аткарылат:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Бул негизги тригонометриялык окшоштук. Ал бурч кайсы чейректе жатканына карабастан, ар дайым туура.

Андан дароо эки пайдалуу натыйжа келип чыгат:

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Мисал. Эгер $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ болсо, анда $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, демек $|\cos\alpha| = \dfrac{4}{5}$. $\cos\alpha$нын алдындагы белги чейректен көз каранды (төмөндө караңыз).

Тангенс синус жана косинус аркылуу

Аныктама боюнча:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad (\cos\alpha \ne 0)$

Бул окшоштук синус менен косинус белгилүү болгондо тангенсти табууга мүмкүндүк берет, жана тескерисинче.

Мисал. Эгер $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$ жана $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$ болсо, анда $\tan\alpha = \dfrac{5/13}{12/13} = \dfrac{5}{12}$.

Туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү

Негизги окшоштукту «эки багытта тең» колдонуу ыңгайлуу: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ны $1$ге, ал эми $1$ди квадраттардын суммасына алмаштыруу.

1-мисал. $1 - \sin^2\alpha$ туюнтмасын жөнөкөйлөтөбүз. Негизги окшоштуктун натыйжасы боюнча:

$1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$

2-мисал. $\dfrac{\sin^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha}$ туюнтмасын жөнөкөйлөтөбүз. $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ экенин байкайбыз, ошондуктан

$\frac{\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1 \quad (\sin\alpha \ne 0)$

Мындай алмаштыруулар — ЖРТда тригонометриялык туюнтмаларды жөнөкөйлөтүүнүн эң көп кездешкен ыкмасы.

Функциялардын чейректер боюнча белгилери

Бурчтун мааниси чейректи аныктайт, ал эми чейрек — $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ жана $\tan\alpha$нын белгилерин:

| Чейрек | Бурч | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ | |---|---|---|---|---| | I | $0^\circ$–$90^\circ$ | $+$ | $+$ | $+$ | | II | $90^\circ$–$180^\circ$ | $+$ | $-$ | $-$ | | III | $180^\circ$–$270^\circ$ | $-$ | $-$ | $+$ | | IV | $270^\circ$–$360^\circ$ | $-$ | $+$ | $-$ |

Эстеп калуу оңой: тангенс — бул $\sin\alpha$нын $\cos\alpha$га катышы, ошондуктан анын белгиси — синус менен косинустун белгилеринин көбөйтүндүсүнүн белгиси.

Мисал. $\alpha = 200^\circ$ бурчу үчүнчү чейректе жатат ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$). Демек, $\sin 200^\circ < 0$, $\cos 200^\circ < 0$, ал эми $\tan 200^\circ > 0$ (минус минуска плюс берет).

Бир белгилүү функция боюнча бардык функцияларды эсептөө

Бурчтун бир функциясын жана ал жаткан чейректи билип, калган экөөнү тең табууга болот.

Мисал. $\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$ жана $\alpha$ бурчу үчүнчү чейректе ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$) жатсын.

1. Негизги окшоштуктан: $\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, демек $|\sin\alpha| = \dfrac{4}{5}$.
2. Үчүнчү чейректе синус терс, ошондуктан $\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}$.
3. Тангенс: $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-4/5}{-3/5} = \dfrac{4}{3}$.

Келтирүү формулалары (эң жөнөкөйлөрү)

Эң жөнөкөй жана эң пайдалуу келтирүү формуласы кошумча бурчтардын (бурч жана анын $90^\circ$ко чейинки толуктоосу) синусу менен косинусун байланыштырат:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

Мисал. Таблицадагы $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ маанисин билип, дароо алууга болот:

$\sin 60^\circ = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ЖРТ-кеңеш

Эгер маселеде бир гана функция жана бурчтун диапазону берилсе, эң биринчи экинчи функциянын белгисин чейрек боюнча аныктагыла — бул эсептөөлөргө чейин эле туура эмес жооптордун жарымын четке кагат. Жана туюнтмада $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ны $1$ге (же тескерисинче) алмаштыруу мүмкүнчүлүгүн ар дайым текшергиле — жөнөкөйлөтүүгө берилген дээрлик ар бир тапшырма оор түрлөндүрүүлөрсүз дал ушундайча чыгарылат.