Тригонометриялык теңдемелер

Эң жөнөкөй тригонометриялык теңдемелер

Эң жөнөкөй тригонометриялык теңдеме — бул $\sin x = a$, $\cos x = a$ же $\tan x = a$ түрүндөгү теңдеме, мында $a$ — берилген сан. ЖРТда мындай теңдемелер дээрлик ар дайым таблицадагы бурчтардын жардамы менен чыгарылат, ошондуктан $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ бурчтары үчүн синустун, косинустун жана тангенстин маанилер таблицасын жатка билүү керек. Төмөндөгү бардык бурчтар — мектеп курсунда кабыл алынгандай, градус менен.

Негизги ыкма — чейректер боюнча белгилер эрежеси: I чейректе ($0°$–$90°$) бардык функциялар оң, II чейректе ($90°$–$180°$) синус гана оң, III чейректе ($180°$–$270°$) — тангенс гана, IV чейректе ($270°$–$360°$) — косинус гана.

$\sin x = a$ теңдемеси

Эгер $|a| \le 1$ болсо, $\sin \alpha = |a|$ болгон таяныч (таблицадагы) бурчту $\alpha$ табабыз. Андан ары $a$нын белгисин эске алабыз:

• эгер $a > 0$ болсо — тамырлар I жана II чейректерде жатат: $x = \alpha$ жана $x = 180° - \alpha$ (плюс $360°n$ мезгили);
• эгер $a < 0$ болсо — тамырлар III жана IV чейректерде жатат: $x = 180° + \alpha$ жана $x = 360° - \alpha$.

Мисал. $[0°; 360°]$ кесиндисинде $\sin x = \dfrac{1}{2}$ теңдемесин чыгаралы. Таяныч бурч: $\alpha = 30°$. $a > 0$ болгондуктан, тамырлар — $x = 30°$ жана $x = 180° - 30° = 150°$. Бардыгы 2 тамыр.

$\cos x = a$ теңдемеси

Таяныч бурч $\alpha$: $\cos \alpha = |a|$.

• эгер $a > 0$ болсо — тамырлар I жана IV чейректерде: $x = \alpha$ жана $x = 360° - \alpha$;
• эгер $a < 0$ болсо — тамырлар II жана III чейректерде: $x = 180° - \alpha$ жана $x = 180° + \alpha$.

Мисал. $[0°; 360°]$ кесиндисинде $\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ теңдемесин чыгаралы. Таяныч бурч $\alpha = 45°$, $a < 0$, демек тамырлар — $x = 180° - 45° = 135°$ жана $x = 180° + 45° = 225°$. Бардыгы 2 тамыр.

$\tan x = a$ теңдемеси

Тангенстин мезгили $180°$, ошондуктан $[0°; 360°]$ кесиндисинде адатта так эки тамыр чыгат (тангенс аныкталбаган $90°$ жана $270°$ чекиттеринен башка). Таяныч бурч $\alpha$: $\tan \alpha = |a|$.

• эгер $a > 0$ болсо — тамырлар I жана III чейректерде: $x = \alpha$ жана $x = 180° + \alpha$;
• эгер $a < 0$ болсо — тамырлар II жана IV чейректерде: $x = 180° - \alpha$ жана $x = 360° - \alpha$.

Мисал. $[0°; 360°]$ кесиндисинде $\tan x = \sqrt3$ теңдемесин чыгаралы. Таяныч бурч $\alpha = 60°$, $a>0$, тамырлары: $x = 60°$ жана $x = 180° + 60° = 240°$.

Өзгөчө учурлар

Бул теңдемелер таяныч бурчту талап кылбайт — жооп бирдик айланадан дароо көрүнөт:

• $\sin x = 0$: $[0°;360°]$ кесиндисинде $x = 0°, 180°, 360°$ (3 тамыр, анткени кесинди туюк, учтары кирет);
• $\sin x = 1$: жалгыз $x = 90°$;
• $\sin x = -1$: жалгыз $x = 270°$;
• $\cos x = 0$: $x = 90°, 270°$ (2 тамыр);
• $\cos x = 1$: $x = 0°, 360°$ (2 тамыр, кесиндинин эки учу тең);
• $\cos x = -1$: жалгыз $x = 180°$.

Бул жерде ЖРТ-кеңеш өзгөчө маанилүү: $[0°; 360°]$ кесиндисинин учтарын унутпагыла — эгер алар тамыр болсо, аларды жоопко жана тамырлардын санын эсептөөгө кошуу керек.

Квадраттык теңдемеге келтирилүүчү теңдемелер

Эгер теңдемеде $\sin^2 x$ же $\cos^2 x$ кездешсе, көбүнчө жалпы көбөйтүүчүнү кашаанын сыртына чыгарууга же $t = \sin x$ (же $t = \cos x$) алмаштыруусун жасап, кадимки квадраттык теңдеме алууга болот.

Мисал. $[0°; 360°]$ кесиндисинде $2\sin^2 x - \sin x = 0$ теңдемесин чыгаралы.

$\sin x$ти кашаанын сыртына чыгарабыз: $\sin x (2\sin x - 1) = 0$. Теңдеме эки эң жөнөкөй теңдемеге ажырайт:

$\sin x = 0 \quad \text{же} \quad \sin x = \frac{1}{2}$

Биринчиси $x = 0°, 180°, 360°$, экинчиси $x = 30°, 150°$ берет. Бардык тамырлар ар түрдүү, ошондуктан бардыгы 5 тамыр: $0°, 30°, 150°, 180°, 360°$.

Эгер квадраттык теңдеме дароо көбөйтүүчүлөргө ажырабаса, аны $t$га карата кадимки квадраттык теңдеме катары дискриминант аркылуу чыгарабыз, андан кийин табылган ар бир $t$ маанисин $\sin x = t$ же $\cos x = t$ эң жөнөкөй теңдемесине коёбуз, ошондой эле $|t| \le 1$ экенин текшерүүнү унутпайбыз (болбосо тамырлар жок).

ЖРТ-кеңеш

Экзаменде $(-1)^n$ жана $\pm$ катышкан жалпы формулага убакыт коротпогула — $[0°; 360°]$ кесиндисинде чейректер эрежеси тезирээк иштейт: таблица боюнча таяныч бурчту тапкыла, $a$нын белгисин аныктагыла жана эки (же бардык) талапкерди дароо жазып чыккыла. Жооп берүүдөн мурун жок дегенде бир тамырды коюп текшерүү милдеттүү — бул чейректеги катадан сактайт.