Курч бурчтун тригонометриясы

Курч бурчтун синусу, косинусу жана тангенси

Тик бурчтуу үч бурчтукта бир бурч $90°$ка барабар, ал эми калган экөө — курч. Жактары мындайча аталат: гипотенуза — тик бурчтун каршысындагы жак (эң узун жагы); $\alpha$ бурчуна каршы жаткан катет — ушул бурчтун каршысындагы жак; $\alpha$ бурчуна жандаш катет — бурчтун жанындагы жак (бирок гипотенуза эмес).

Тик бурчтуу үч бурчтуктун курч бурчу $\alpha$ үчүн:

$\sin\alpha = \frac{\text{каршы жаткан катет}}{\text{гипотенуза}}, \qquad \cos\alpha = \frac{\text{жандаш катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\text{tg}\,\alpha = \frac{\text{каршы жаткан катет}}{\text{жандаш катет}} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Мисал. Катеттери $6$ жана $8$, гипотенузасы $10$ болгон үч бурчтукта ($3$-$4$-$5$ үчтүгүнүн эки эсе чоңойтулганы) $6$ катетине каршы жаткан $\alpha$ бурчу үчүн: $\sin\alpha = 6/10 = 3/5$, $\cos\alpha = 8/10 = 4/5$, $\text{tg}\,\alpha = 6/8 = 3/4$. Байкагыла: $\sin\alpha$ менен $\cos\alpha$ эч качан $1$ден ашпайт, анткени катет ар дайым гипотенузадан кыска, ал эми $\text{tg}\,\alpha$ болсо $1$ден чоң да болушу мүмкүн (эгер каршы жаткан катет жандаш катеттен узун болсо).

Көңүл бургула: бир курч бурчтун синусу экинчисинин косинусуна барабар: ошол эле үч бурчтукта $\beta$ бурчу ($8$ катетине каршы жаткан) үчүн $\sin\beta = 8/10 = 4/5 = \cos\alpha$ алабыз. Бул ар дайым туура, анткени $\alpha + \beta = 90°$.

30°, 45°, 60° үчүн маанилер таблицасы

Бул маанилерди жатка билүү керек — ЖРТда калькулятор жок:

| $\alpha$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | |---|---|---|---| | $\sin\alpha$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | | $\cos\alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ | | $\text{tg}\,\alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |

Эстеп калуу оңой: $30°$ жана $60°$та $\sin$ менен $\cos$ бири-бирине «күзгүдөй», ал эми $45°$та алар барабар.

Негизги тригонометриялык окшоштук

Каалаган курч бурч үчүн туура:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Бул Пифагор теоремасынын натыйжасы: эгер үч бурчтуктун катеттери $a$ (каршы жаткан) жана $b$ (жандаш), ал эми гипотенузасы $c$ болсо, анда $a^2+b^2=c^2$. Эки жагын тең $c^2$ге бөлүп, $\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1$, башкача айтканда $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ алабыз.

Мисал. $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$, $\alpha$ бурчу курч болсун. Анда

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}, \qquad \cos\alpha = \frac{12}{13}$

(тамырды «$+$» белгиси менен алабыз, анткени курч бурч үчүн косинус ар дайым оң).

Бурчту жана бир жагын билип, башка жагын кантип табуу керек

Аныктамалардан керектүү жакты туюнтабыз:

$\text{каршы жаткан катет} = \text{гипотенуза} \cdot \sin\alpha, \qquad \text{жандаш катет} = \text{гипотенуза} \cdot \cos\alpha$

Мисал. Узундугу $8$ м шаты полго $60°$ бурч менен дубалга жөлөнгөн. Шатынын жогорку учу көтөрүлгөн бийиктик — бул $60°$ бурчуна каршы жаткан катет:

$h = 8 \cdot \sin 60° = 8 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \text{ м}$

Жактардын катышы боюнча бурчту кантип табуу керек

Эгер эки жактын катышы белгилүү болсо, аны таблицадагы маанилер менен салыштыргыла.

Мисал. Тик бурчтуу үч бурчтукта $\alpha$ бурчуна каршы жаткан катет $5\sqrt3$кө, ал эми гипотенуза $10$го барабар. Анда

$\sin\alpha = \frac{5\sqrt3}{10} = \frac{\sqrt3}{2} \quad\Rightarrow\quad \alpha = 60°$

анткени таблицада синустун дал ушул мааниси $60°$ бурчунун астында турат.

Тангенс менен да ушундай кылабыз: эгер $\text{tg}\,\alpha = 1$ болсо, дароо таблицаны эстейбиз — бирдик $45°$ тилкесинде гана турат, демек $\alpha = 45°$. Эгер жактардын катышы таблицадагы бир да мааниге дал келбесе, анда бурч жөн эле «жакшынакай» эмес, мындай учур ЖРТ тапшырмаларында дээрлик кездешпейт.

ЖРТ-кеңеш

ЖРТда курч бурчтун тригонометриясына арналган тапшырмалардагы дээрлик бардык үч бурчтуктар «ыңгайлуу» сандарга курулат: же таблицадагы $30°$, $45°$, $60°$ бурчтары, же $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$ Пифагор үчтүктөрү (жана алардын чоңойтулган көчүрмөлөрү, мисалы $6$-$8$-$10$). Бул үчтүктөрдү жатка үйрөнгүлө — ошондо $15$ менен $17$ же $8$ менен $17$ катеттерин көргөндө, эсептөөлөргө жана тамырларга убакыт коротпой, үчүнчү жакты жана керектүү катышты дароо тааныйсыңар. Ал эми $30°$, $45°$, $60°$ үчүн маанилер таблицасын экзаменге чейин бир нече жолу үн чыгарып айтып чыгуу пайдалуу — аны эстөөгө эки-үч секунддан ашык убакыт кетпеши керек.