Квадраттык теңдемелер

Квадраттык теңдеменин жалпы түрү

Квадраттык теңдеме — бул төмөнкү түрдөгү теңдеме:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0,$

мында $a$, $b$, $c$ — берилген сандар (коэффициенттер). $a \neq 0$ шарты милдеттүү: эгерде $a = 0$ болсо, теңдеме сызыктуу болуп калат.

Мисалы, $2x^2 - 5x + 3 = 0$ теңдемесинде коэффициенттер: $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$.

Дискриминант жана тамырлардын саны

Теңдеменин канча тамыры бар экенин билүү үчүн дискриминантты эсептешет:

$D = b^2 - 4ac$

• Эгерде $D > 0$ болсо — теңдеменин эки ар башка тамыры бар.
• Эгерде $D = 0$ болсо — теңдеменин бир тамыры бар («эки барабар тамыр» деп да айтышат).
• Эгерде $D < 0$ болсо — теңдеменин нукура тамырлары жок.

Мисал. $x^2 - 5x + 6 = 0$ үчүн: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ — эки тамыры бар.

Тамырлардын формуласы

Эгерде $D \geq 0$ болсо, тамырларды төмөнкү формула боюнча табышат:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Мисал. $2x^2 + 3x - 2 = 0$ теңдемесин чыгаралы: мында $a=2$, $b=3$, $c=-2$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25, \qquad \sqrt{D} = 5$

$x = \frac{-3 \pm 5}{4} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2$

Толук эмес квадраттык теңдемелер

Эгерде $b = 0$ же $c = 0$ болсо, теңдемени толук эмес дешет — аны жалпы формуласыз, жөнөкөйүрөөк чыгарышат.

$ax^2 + bx = 0$ түрү. $x$ти кашаанын сыртына чыгарабыз: $x(ax+b) = 0$. Анда $x = 0$ же $x = -\dfrac{b}{a}$.

Мисал: $3x^2 - 12x = 0 \;\Rightarrow\; 3x(x-4)=0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0, \; x_2 = 4$.

$ax^2 + c = 0$ түрү. $x^2 = -\dfrac{c}{a}$ деп туюнтабыз. Эгерде оң жагы терс эмес болсо, $x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$; ал эми терс болсо — тамыры жок.

Мисал: $2x^2 - 18 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = \pm 3$.

Виет теоремасы

Тамырлары $x_1$ жана $x_2$ болгон $ax^2+bx+c=0$ теңдемеси үчүн төмөнкү формулалар туура:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Келтирилген теңдеме ($a=1$), башкача айтканда $x^2 + px + q = 0$ үчүн формулалар жөнөкөйлөнөт:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q$

Мисал. $x^2 - 7x + 12 = 0$ үчүн: тамырлардын суммасы $= 7$, көбөйтүндүсү $= 12$. Тандоо жолу менен суммасы $7$, ал эми көбөйтүндүсү $12$ болгон сандарды табабыз — булар $3$ жана $4$. Текшерүү: $3+4=7$, $3\cdot4=12$. Демек, $x_1=3$, $x_2=4$.

Виет теоремасы көбүнчө тескери багытта колдонулат: теңдемени чыгарбастан анын тамырларынын суммасын же көбөйтүндүсүн тез табууга болот — ЖРТда муну көп талап кылышат.

Көбөйтүүчүлөргө ажыратуу

Эгерде $x_1$ жана $x_2$ — $ax^2+bx+c=0$ теңдемесинин тамырлары болсо, анда квадраттык үч мүчө мындай ажырайт:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Мисал. $2x^2 - 7x + 3$ үчүн: $D = 49 - 24 = 25$, тамырлары $x_1 = 3$, $x_2 = \dfrac{1}{2}$.

$2x^2 - 7x + 3 = 2\left(x-3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) = (x-3)(2x-1)$

ЖРТ-кеңеш

Эгерде маселеде тамырлардын өздөрү эмес, суммасы же көбөйтүндүсү гана керек болсо — теңдемени дискриминант аркылуу чыгарбагыла, дароо Виет теоремасын колдонгула: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Бул убакытты үнөмдөйт. Ал эми бүтүн коэффициенттүү келтирилген теңдемелер үчүн адегенде тамырларды Виет теоремасы боюнча оозеки тандап көргүлө (керектүү суммасы жана көбөйтүндүсү бар эки сан) — бул дискриминантты эсептегенден тезирээк.