Сызыктуу теңдемелер

Сызыктуу теңдеме деген эмне

Бир өзгөрмөлүү сызыктуу теңдеме — бул $ax + b = 0$ түрүндөгү (же ушундай түргө келтирилүүчү) теңдеме, мында $a$ жана $b$ — сандар, ал эми $x$ — белгисиз. Теңдемени чыгаруу — барабардык туура болгон $x$тин бардык маанилерин табуу дегенди билдирет.

Теңдемелерди өзгөртүп түзүү эрежелери

Теңдемени чыгарууда барабардыкты бузбастан эки негизги амалды аткарууга болот:

1. Кошулуучуну которуу — теңдеменин бир бөлүгүнөн экинчисине; мында кошулуучунун белгиси карама-каршысына өзгөрөт.
2. Теңдеменин эки бөлүгүн тең нөлгө барабар эмес бир эле санга көбөйтүү (же бөлүү).

Мисал. $\dfrac{x}{5} + 3 = 8$ теңдемесин чыгаралы.

$3$тү белгисин өзгөртүп оң жакка которобуз: $\dfrac{x}{5} = 8 - 3 = 5$. Эки бөлүгүн $5$ке көбөйтөбүз: $x = 25$.

$ax + b = cx + d$ түрүндөгү теңдемелер

Эгерде өзгөрмө эки бөлүктө тең кездешсе, $x$ бар кошулуучуларды бир тарапка, ал эми сандарды экинчи тарапка которушат.

Мисал. $5x - 7 = 2x + 8$ теңдемесин чыгаралы.

$2x$ти сол жакка, ал эми $-7$ни оң жакка которобуз: $5x - 2x = 8 + 7$ $3x = 15 \implies x = 5$

Кашаалуу теңдемелер

Адегенде кашааларды ачабыз (көбөйтүүчүнү ичиндеги ар бир кошулуучуга көбөйтөбүз), андан кийин адаттагыдай эле иштейбиз.

Мисал. $3(x+2) - 5 = 2(x+4)$ теңдемесин чыгаралы.

Кашааларды ачабыз: $3x + 6 - 5 = 2x + 8$, башкача айтканда $3x + 1 = 2x + 8$. Которобуз: $3x - 2x = 8 - 1 \implies x = 7$.

Бөлчөк коэффициенттүү теңдемелер

Бөлчөктөрдөн кутулуу үчүн теңдеменин эки бөлүгүн тең бардык бөлчөктөрдүн жалпы бөлүмүнө көбөйтөбүз.

Мисал. $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$ теңдемесин чыгаралы.

Жалпы бөлүм — $6$. Эки бөлүгүн $6$га көбөйтөбүз: $3x + 2x = 30 \implies 5x = 30 \implies x = 6$

Өзгөчө учурлар: тамыры жок жана тамырлары чексиз көп

$x$ бар бардык кошулуучуларды бир бөлүккө которгондон кийин $0 \cdot x = k$ түрүндөгү теңдеме келип чыгышы мүмкүн.

• Эгерде $k \ne 0$ болсо (мисалы, $0 \cdot x = 5$) — барабардык эч кандай $x$те мүмкүн эмес, демек тамыры жок.
• Эгерде $k = 0$ болсо (башкача айтканда $0 \cdot x = 0$) — барабардык каалагандай $x$те туура, демек тамырлары чексиз көп.

Мисал. $4(x+1) = 4x + 9$ теңдемесин чыгаралы.

Кашааларды ачабыз: $4x + 4 = 4x + 9$. Которобуз: $4x - 4x = 9 - 4 \implies 0 = 5$ — эч кандай $x$те туура эмес. Тамыры жок.

Мисал. $5(x-2) = 5x - 10$ теңдемесин чыгаралы.

Кашааларды ачабыз: $5x - 10 = 5x - 10$ — каалагандай $x$те туура. Тамырлары чексиз көп.

Параметрлүү эң жөнөкөй теңдемелер

$ax = b$ түрүндөгү теңдемеде тамырлардын саны $a$ параметринен көз каранды:

• эгерде $a \ne 0$ болсо — жалгыз тамыры $x = \dfrac{b}{a}$;
• эгерде $a = 0$ жана $b \ne 0$ болсо — тамыры жок;
• эгерде $a = 0$ жана $b = 0$ болсо — тамырлары чексиз көп.

Мисал. $a$нын кайсы маанисинде $(a-3)x = 0$ теңдемесинин тамырлары чексиз көп болот? $a = 3$ болгондо теңдеме $0 \cdot x = 0$ түрүнө айланат, ал эми бул каалагандай $x$ үчүн туура.

ЖРТ-кеңеш

Экзаменде $0 = k$ алганда дароо текшергиле: $k \ne 0$ болсо — тамыры жок, $k = 0$ болсо — тамырлары чексиз көп. Андан аркы өзгөртүп түзүүлөргө убакыт коротпогула — жооп даяр болуп калды. Ошондой эле кошулуучуну которгондо белгисин өзгөртүүнү унутпагыла — бул мындай тапшырмалардагы эң көп кездешүүчү ката.