Теңдемелер системалары

Теңдемелер системасы деген эмне

Теңдемелер системасы — бул жалпы чечимин табуу керек болгон бир нече теңдеме; жалпы чечим — бардык теңдемелерге бирдей туура келген өзгөрмөлөрдүн маанилери.

$x$ жана $y$ эки белгисизи бар эки сызыктуу теңдеменин системасы адатта мындай жазылат:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

Системанын чечими — бул эки теңдемени тең бир учурда туура барабардыкка айландырган $(x, y)$ сандар түгөйү.

Коюу ыкмасы

1. Бир теңдемеден бир өзгөрмөнү экинчиси аркылуу туюнтабыз.
2. Бул туюнтманы экинчи теңдемеге коёбуз — бир өзгөрмөлүү теңдеме келип чыгат.
3. Аны чыгарып, биринчи өзгөрмөнү табабыз.
4. Табылган маанини кайра коюп, экинчи өзгөрмөнү табабыз.

Мисал. Системаны чыгаралы:

$$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 14 \end{cases}$$

$y = 2x - 1$ди экинчи теңдемеге коёбуз:

$3x + (2x - 1) = 14 \;\Rightarrow\; 5x = 15 \;\Rightarrow\; x = 3$

Анда $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Жообу: $(3, 5)$.

Кошуу ыкмасы

Эгерде өзгөрмөнү ачык туюнтуу ыңгайсыз болсо, өзгөрмөлөрдүн бири кыскарышы үчүн теңдемелерди кошууга же кемитүүгө болот.

1. Зарыл болсо, бир өзгөрмөнүн коэффициенттери модулу боюнча барабар болгудай кылып, бир же эки теңдемени тең сандарга көбөйтөбүз.
2. Теңдемелерди кошобуз (эгерде белгилери карама-каршы болсо) же кемитебиз (эгерде белгилери бирдей болсо) — өзгөрмө жоголот.
3. Келип чыккан бир өзгөрмөлүү теңдемени чыгарабыз.
4. Табылган маанини баштапкы теңдемелердин каалаганына коёбуз.

Мисал. Системаны чыгаралы:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$$

$x$тин коэффициенттери мурунтан эле барабар, ошондуктан биринчи теңдемеден экинчисин кемитебиз:

$(2x + 3y) - (2x - y) = 12 - 4 \;\Rightarrow\; 4y = 8 \;\Rightarrow\; y = 2$

Экинчи теңдемеге коёбуз: $2x - 2 = 4 \Rightarrow x = 3$. Жообу: $(3, 2)$.

Системанын графиктик мааниси

Эки өзгөрмөлүү ар бир сызыктуу теңдеме координаталык тегиздикте түз сызыкты аныктайт. Мындай эки теңдеменин системасын чыгаруу — эки түз сызыктын кесилишкен чекитин табуу дегенди билдирет. Үч учур болушу мүмкүн:

• Түз сызыктар бир чекитте кесилишет — системанын так бир чечими бар (кадимки учур).
• Түз сызыктар параллель жана дал келбейт — системанын чечими жок. Мындай учур $x$ жана $y$нун коэффициенттери пропорционалдуу, ал эми бош мүчөлөрү пропорционалдуу эмес болгондо кездешет. Мисалы, $x + y = 8$ жана $2x + 2y = 10$: экинчи теңдемени $2$ге бөлүп, $x + y = 5 \ne 8$ алабыз — карама-каршылык.
• Түз сызыктар дал келет — системанын чечимдери чексиз көп. Мындай учур бир теңдеме экинчисинен санга көбөйтүү аркылуу алынганда кездешет. Мисалы, $x + y = 4$ жана $2x + 2y = 8$ — бул бир эле түз сызык.

Чечимди текшерүү

$(x_0, y_0)$ сандар түгөйү системанын чечими болобу же жокпу текшерүү үчүн эки санды тең ар бир теңдемеге коюп, эки барабардыктын тең туура экенине ынануу керек.

Мисал. $(2, -3)$ түгөйүн система үчүн текшерели:

$$\begin{cases} x + 2y = -4 \\ 3x - y = 9 \end{cases}$$

Биринчи теңдеме: $2 + 2 \cdot (-3) = 2 - 6 = -4$ — туура. Экинчи теңдеме: $3 \cdot 2 - (-3) = 6 + 3 = 9$ — туура.

Эки барабардык тең туура, демек $(2, -3)$ — системанын чечими. Эгерде жок дегенде бир барабардык туура эмес болсо, түгөй чечим болбойт.

ЖРТ-кеңеш

Эгерде маселеде $x$ менен $y$ өз-өзүнчө эмес, $x + y$ суммасы (же айырмасы) суралса, көбүнчө системаны толук чыгаруунун кереги жок — теңдемелерди бүт бойдон кошуу жетиштүү.

Мисал. Система берилген:

$$\begin{cases} 4x + 7y = 32 \\ 7x + 4y = 23 \end{cases}$$

Сол жана оң жактарын кошобуз:

$11x + 11y = 55 \;\Rightarrow\; 11(x+y) = 55 \;\Rightarrow\; x + y = 5$

Жооп бир кадамда алынды, $x$ менен $y$ди өзүнчө таппастан (маалымат үчүн: чынында $x=1$, $y=4$). ЖРТда бул кымбат мүнөттөрдү үнөмдөйт — системаны бүт бойдон чыгаруудан мурун, $x$ жана $y$нун коэффициенттери бирдей кошулабы, карап көргүлө.