Алгебраические дроби

Что такое алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь — это выражение вида $\dfrac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены, причём $B$ не равен нулю тождественно. Например:

$\frac{x+3}{x-5}, \qquad \frac{x^2-1}{x^2+4x+4}$

Как и обычная числовая дробь, алгебраическая дробь не определена, если её знаменатель обращается в ноль — на этот случай в математике нет ответа, и выражение просто «не имеет смысла».

Работать с алгебраическими дробями почти так же, как с обычными: те же правила сложения, вычитания, умножения и деления. Разница в том, что вместо чисел в числителе и знаменателе стоят многочлены, поэтому перед любым действием их обычно нужно разложить на множители.

ОДЗ: когда дробь имеет смысл

ОДЗ (область допустимых значений) — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дроби нужно исключить те значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.

Пример. Найдём ОДЗ выражения $\dfrac{x+2}{x^2-9}$.

Приравняем знаменатель к нулю: $x^2 - 9 = 0$, то есть $x^2 = 9$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

Значит, выражение не имеет смысла при $x = 3$ и $x = -3$, а ОДЗ — все остальные числа.

Числитель на ОДЗ не влияет: он может быть равен нулю, дробь при этом просто равна нулю (если знаменатель не ноль). А вот равенство нулю знаменателя запрещено всегда, независимо от того, насколько «красивым» получается пример.

Если знаменатель — не квадратный трёхчлен, а произведение множителей, действуем так же: приравниваем к нулю каждый множитель по отдельности. Например, для $\dfrac{1}{(x-1)(x+7)}$ запрещённые значения — это $x=1$ и $x=-7$.

Сокращение алгебраических дробей

Чтобы сократить дробь, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и убрать одинаковые множители.

Пример. Сократим $\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}$.

Числитель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ — разность квадратов. Знаменатель: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ — квадрат суммы.

$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}, \qquad x \ne -2$

Важно: сокращать можно только множители всей дроби, а не отдельные слагаемые внутри числителя или знаменателя. Частая ошибка — «сократить» $x$ в выражении вида $\dfrac{x+2}{x}$: так делать нельзя, потому что $x$ не является множителем числителя целиком, а только одного из слагаемых.

Обратите внимание, что после сокращения ОДЗ не меняется: даже когда множитель $(x+2)$ исчез из ответа, значение $x=-2$ по-прежнему запрещено, потому что оно было запрещено в исходной дроби.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю — обычно это произведение знаменателей (или их НОК, если они раскладываются на общие множители).

Пример. Выполним вычитание $\dfrac{4}{x-2} - \dfrac{3}{x+2}$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2) = x^2-4$.

$\frac{4(x+2) - 3(x-2)}{x^2-4} = \frac{4x+8-3x+6}{x^2-4} = \frac{x+14}{x^2-4}$

При вычитании особенно легко ошибиться со знаком — скобки во втором числителе раскрываются с минусом перед всей скобкой.

Умножение и деление дробей

Умножение: перемножаем числители между собой и знаменатели между собой, затем сокращаем.

Деление: делить на дробь — то же самое, что умножать на неё «перевёрнутую» (числитель и знаменатель меняются местами).

Пример. Выполним деление $\dfrac{x^2-9}{x+2} : \dfrac{x-3}{x+2}$.

$\frac{x^2-9}{x+2} \cdot \frac{x+2}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x-3} = x+3, \qquad x \ne -2,\ x\ne 3$

Множитель $(x+2)$ сократился полностью, а $(x-3)$ сократился с одинаковым множителем в знаменателе.

Двухэтажные дроби (кратко)

Если дробь стоит в числителе или знаменателе другой дроби, её называют двухэтажной. Чтобы упростить, сначала сводят числитель и знаменатель к одной дроби каждый, а затем делят одну дробь на другую.

Пример.

$\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}} = \frac{\dfrac{y+x}{xy}}{\dfrac{y-x}{xy}} = \frac{x+y}{xy}\cdot\frac{xy}{y-x} = \frac{x+y}{y-x}$

Знаменатели $xy$ сократились, осталась простая дробь.

ОРТ-совет

На ОРТ почти в каждом варианте встречается вопрос «при каких $x$ выражение не имеет смысла» — не решайте уравнение целиком, если не требуется: достаточно приравнять знаменатель к нулю и найти корни. И всегда проверяйте ОДЗ после сокращения дроби: множитель, который вы убрали, всё равно даёт запрещённое значение.