Квадратичная функция и парабола

Что такое квадратичная функция

Квадратичная функция — это функция вида

$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0,$

где $a$, $b$, $c$ — заданные числа (коэффициенты). Условие $a \neq 0$ обязательно: если $a = 0$, функция становится линейной.

Графиком квадратичной функции всегда является парабола.

Направление ветвей

Направление ветвей параболы определяется знаком коэффициента $a$:

• Если $a > 0$ — ветви направлены вверх.
• Если $a < 0$ — ветви направлены вниз.

Это можно определить сразу, даже не строя график.

Вершина параболы

Вершина — самая нижняя точка параболы (если ветви вверх) или самая верхняя (если ветви вниз). Её абсцисса находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

а ордината — подстановкой $x_0$ в саму функцию: $y_0 = f(x_0)$.

Прямая $x = x_0$ — это ось симметрии параболы: обе её ветви зеркально повторяют друг друга относительно этой прямой.

Пример. Для $y = x^2 - 4x + 3$: $a = 1 > 0$, ветви вверх. Вершина:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_0 = 2^2 - 4\cdot2 + 3 = -1$

Вершина — точка $(2; -1)$.

Нули функции и корни уравнения

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$, то есть точки пересечения параболы с осью $Ox$. Чтобы их найти, решают квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ через дискриминант $D=b^2-4ac$:

• $D > 0$ — парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках (два нуля).
• $D = 0$ — парабола касается оси $Ox$ в одной точке (один нуль — это и есть вершина).
• $D < 0$ — парабола не пересекает ось $Ox$ (нулей нет).

Пример. Для $y = x^2 - 4x + 3$: $x^2-4x+3=0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x_1=1,\ x_2=3$. Это и есть нули функции — парабола пересекает ось $Ox$ в точках $1$ и $3$.

Наибольшее и наименьшее значение

Так как вершина — крайняя точка параболы, значение $y_0$ в вершине является:

• наименьшим значением функции, если $a > 0$ (ветви вверх, максимума нет — функция неограниченно растёт);
• наибольшим значением функции, если $a < 0$ (ветви вниз, минимума нет).

Пример. Для $y = -x^2+2x+3$: $a=-1<0$, значит есть наибольшее значение. Вершина: $x_0 = -\dfrac{2}{2\cdot(-1)} = 1$, $y_0 = -1+2+3=4$. Наибольшее значение функции равно $4$ (при $x=1$).

Пересечение с осью $Oy$

При $x=0$ получаем $y = a\cdot0+b\cdot0+c = c$. Значит, парабола всегда пересекает ось $Oy$ в точке $(0; c)$ — это самая простая точка графика, её видно сразу по формуле функции.

Пример. Для $y=-x^2+2x+3$ точка пересечения с осью $Oy$ — это $(0;3)$, так как $c=3$.

ОРТ-совет

Чтобы быстро описать параболу без построения графика, проверяйте по порядку три вещи прямо по формуле $y=ax^2+bx+c$:

1. Знак $a$ — направление ветвей (вверх/вниз) и есть ли наибольшее или наименьшее значение.
2. $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ и $y_0=f(x_0)$ — вершина и сама это наибольшее/наименьшее значение.
3. $c$ — точка пересечения с осью $Oy$, готова без вычислений.

Если в задаче на ОРТ спрашивают именно наибольшее или наименьшее значение функции — не ищите нули функции, сразу считайте $y_0$ через вершину: это быстрее и напрямую даёт ответ.