Линейная функция

Что такое линейная функция

Линейная функция — это функция вида

$y = kx + b,$

где $k$ и $b$ — постоянные числа (коэффициенты), а $x$ — переменная. Графиком такой функции всегда является прямая линия.

Например, $y = 2x - 3$, $y = -x + 5$, $y = 4$ (частный случай при $k=0$) — всё это линейные функции.

Смысл коэффициента $k$

Число $k$ называют угловым коэффициентом (или коэффициентом наклона). Он показывает, как меняется $y$ при увеличении $x$ на единицу.

• Если $k > 0$ — функция возрастает (прямая идёт вверх слева направо).
• Если $k < 0$ — функция убывает (прямая идёт вниз слева направо).
• Если $k = 0$ — прямая горизонтальна, $y$ не меняется.

Чем больше $|k|$, тем круче наклон прямой.

Смысл коэффициента $b$

Число $b$ — это значение $y$ при $x = 0$. Геометрически это точка пересечения графика с осью $Oy$: координаты этой точки всегда $(0, b)$.

Пример. У функции $y = -3x + 7$ угловой коэффициент $k = -3 < 0$, значит функция убывает. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 7)$.

Построение графика по двум точкам

Так как график линейной функции — прямая, а через две точки проходит единственная прямая, достаточно найти любые две точки графика и провести через них линию.

Пример. Построим график $y = -x + 4$.

• При $x = 0$: $y = 4$ — точка $(0, 4)$.
• При $x = 4$: $y = 0$ — точка $(4, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки — это и есть график функции.

Принадлежит ли точка графику

Чтобы проверить, лежит ли точка $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = kx+b$, нужно подставить $x_0$ в формулу и сравнить результат с $y_0$.

Пример. Принадлежит ли точка $(3, 5)$ графику $y = 2x - 1$? Подставляем: $2 \cdot 3 - 1 = 5$. Получили именно $5$, значит точка принадлежит графику.

Пересечение с осями координат

• С осью $Oy$ прямая пересекается в точке $(0, b)$ (подставляем $x=0$).
• С осью $Ox$ прямая пересекается там, где $y = 0$: нужно решить уравнение $kx + b = 0$.

Пример. Найдём точки пересечения графика $y = 3x - 6$ с осями. С осью $Oy$: при $x=0$, $y = -6$ — точка $(0, -6)$. С осью $Ox$: при $y=0$, $3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ — точка $(2, 0)$.

Параллельность прямых

Две прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ параллельны, если у них одинаковый угловой коэффициент: $k_1 = k_2$ (и $b_1 \ne b_2$, иначе это одна и та же прямая).

Пример. Прямые $y = 2x + 1$ и $y = 2x - 5$ параллельны, так как $k_1 = k_2 = 2$, а свободные члены разные.

Нахождение $k$ и $b$ по двум точкам

Если известны две точки прямой $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, то:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

После этого $b$ находят, подставив координаты любой из точек в $y = kx + b$.

Пример. Прямая проходит через точки $(1, 3)$ и $(3, 7)$. $k = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ Подставим точку $(1,3)$: $3 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$. Значит, $y = 2x + 1$. Проверка по второй точке: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ — верно.

ОРТ-совет

На экзамене часто не нужно строить весь график — достаточно знать признаки:

• Знак $k$ сразу говорит, возрастает функция или убывает, без вычислений.
• Для точки пересечения с $Oy$ не решайте уравнение — это просто число $b$.
• Чтобы быстро проверить параллельность, сравнивайте только коэффициенты при $x$ — $b$ на параллельность не влияет.

Эти приёмы экономят время в заданиях на сравнение величин.