Логарифмические уравнения

Уравнения по определению логарифма

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид $\log_a x = b$, где $a > 0$, $a \neq 1$. По определению логарифма это уравнение равносильно равенству

$x = a^b$

Пример. Решим уравнение $\log_2 x = 3$. По определению $x = 2^3 = 8$.

Если под знаком логарифма стоит не просто $x$, а выражение, схема та же: сначала переносим уравнение к виду $\log_a(\ldots) = b$, затем убираем логарифм по определению и решаем обычное уравнение. Не забывайте после этого проверить, что найденное значение действительно попадает в область допустимых значений (ОДЗ) — выражение под логарифмом должно быть положительным.

Равенство логарифмов с одинаковым основанием

Если $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, то, поскольку логарифмическая функция строго монотонна (а значит, принимает каждое значение только один раз), это равносильно системе:

$f(x) = g(x), \qquad f(x) > 0$

Обратите внимание: достаточно проверить положительность только одной из частей — если $f(x) = g(x)$, а одна из них положительна, то и вторая автоматически положительна. Но проверка ОДЗ — обязательный шаг, без неё легко получить посторонний корень.

Пример. Решим уравнение $\log_5(x^2 - 4x - 5) = \log_5(2x - 5)$.

1. Убираем логарифмы: $x^2 - 4x - 5 = 2x - 5$.
2. Переносим всё в одну сторону: $x^2 - 6x = 0$, откуда $x(x-6) = 0$, то есть $x = 0$ или $x = 6$.
3. Проверяем ОДЗ: нужно $2x - 5 > 0$, то есть $x > 2{,}5$.
   • $x = 0$: не удовлетворяет условию $x > 2{,}5$ — посторонний корень, отбрасываем.
   • $x = 6$: удовлетворяет условию — подходит.

Ответ: $x = 6$.

Если бы мы не проверили ОДЗ, то записали бы два корня — и один из них оказался бы неверным ответом.

Простейшие уравнения со свойствами логарифмов

Часто уравнение сначала нужно упростить с помощью свойств логарифмов, а уже потом сводить к простейшему виду. Основное свойство, которое здесь нужно: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

$\log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a\bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr)$

Пример. Решим уравнение $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$.

1. Свернём сумму логарифмов в логарифм произведения: $\log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr) = 3$.
2. По определению логарифма: $(x-1)(x+1) = 2^3 = 8$, то есть $x^2 - 1 = 8$, откуда $x^2 = 9$, значит $x = 3$ или $x = -3$.
3. Проверяем ОДЗ: нужно $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$, то есть $x > 1$.
   • $x = 3$: удовлетворяет $x > 1$ — подходит.
   • $x = -3$: не удовлетворяет — посторонний корень, отбрасываем.

Ответ: $x = 3$.

Похожим образом работает и свойство разности логарифмов: $\log_a f(x) - \log_a g(x) = \log_a\dfrac{f(x)}{g(x)}$ — оно тоже сводит уравнение к простейшему виду, но требует ОДЗ на оба выражения: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

ОРТ-совет

На ОРТ калькулятора нет, поэтому все числа в задачах подобраны так, чтобы после свёртки логарифмов получалось "красивое" уравнение (линейное или легко раскладывающееся на множители квадратное). Если после упрощения у вас появился корень, не являющийся "красивым" целым числом — скорее всего, где-то допущена ошибка в вычислениях, а не в самой задаче. И главное правило: никогда не сдавайте ответ, не подставив корень в ОДЗ — в половине случаев составители специально закладывают в уравнение посторонний корень, чтобы отличить тех, кто просто решил уравнение, от тех, кто решил его правильно.