Показательные выражения и уравнения

Повторение: свойства степеней

Прежде чем решать показательные уравнения, вспомним основные свойства степеней — они понадобятся на каждом шаге:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
• $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ — при делении показатели вычитаются.
• $(a^m)^n = a^{mn}$ — при возведении степени в степень показатели перемножаются.
• $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$), $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

Эти правила позволяют превращать разные основания ($4$, $8$, $9$, $27$ и т.д.) в степени одного и того же простого числа.

Приведение к одному основанию

Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное стоит в показателе степени. Простейший способ решения — привести обе части к одинаковому основанию.

Если $a > 0$, $a \neq 1$, то уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно уравнению показателей:

$f(x) = g(x)$

Это ключевая идея всей темы: раз основания равны, приравниваем показатели.

Пример 1. Решите уравнение $2^x = 8$.

Заметим, что $8 = 2^3$. Уравнение принимает вид $2^x = 2^3$, значит $x = 3$.

Пример 2. Решите уравнение $3^{x+1} = 27$.

Так как $27 = 3^3$, получаем $3^{x+1} = 3^3$, откуда $x + 1 = 3$, то есть $x = 2$.

Пример 3. Решите уравнение $4^x = 2^{x+2}$.

Здесь основания разные ($4$ и $2$), но $4 = 2^2$. Перепишем левую часть: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$. Уравнение принимает вид:

$2^{2x} = 2^{x+2}$

Приравниваем показатели: $2x = x + 2$, откуда $x = 2$.

Важно: переходить от $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ к $f(x) = g(x)$ можно только если основание $a > 0$ и $a \neq 1$ — эти условия почти всегда выполняются в задачах ОРТ, и отдельно проверять их не нужно.

Простые показательные неравенства

Показательная функция $y = a^x$ монотонна: возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$. Это определяет, сохраняется ли знак неравенства при переходе к показателям.

• Если $a > 1$: из $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ следует $f(x) > g(x)$ (знак сохраняется).
• Если $0 < a < 1$: из $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ следует $f(x) < g(x)$ (знак меняется на противоположный).

Пример 4. Решите неравенство $2^x > 16$.

$16 = 2^4$, основание $2 > 1$, значит знак сохраняется: $2^x > 2^4 \Rightarrow x > 4$.

Сравнение показательных выражений без вычисления

На ОРТ калькулятором пользоваться нельзя, поэтому большие степени нужно сравнивать, не вычисляя их точное значение — достаточно привести к одному основанию или одному показателю.

Пример 5. Сравните $2^{20}$ и $4^{9}$.

Приведём к основанию $2$: $4^9 = (2^2)^9 = 2^{18}$. Осталось сравнить показатели при одинаковом основании $2 > 1$: так как $20 > 18$, то $2^{20} > 2^{18}$, значит $2^{20} > 4^9$.

Пример 6. Сравните $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$ и $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$.

Основание $\dfrac{1}{2}$ меньше единицы, поэтому функция убывает: чем больше показатель, тем меньше значение. Так как $5 > 3$, получаем $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$.

ОРТ-совет

Не пытайтесь вычислять большие степени напрямую — ищите общее основание (обычно это простое число: $2, 3, 5$) и сравнивайте только показатели. И всегда сначала проверяйте, больше основание единицы или меньше: от этого зависит, сохраняется знак неравенства или меняется на противоположный.