Числовые неравенства и оценка

Что такое числовое неравенство

Числовое неравенство — это запись вида $a < b$, $a > b$, $a \le b$ или $a \ge b$, которая показывает, какое из двух чисел больше. На ОРТ сравнивать числа часто нужно без калькулятора, поэтому важно знать несколько быстрых приёмов.

Три приёма сравнения чисел

1. Приведение к общему виду. Чтобы сравнить дроби, приводим их к общему знаменателю (или общему числителю).

Пример. Сравним $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{9}$. Общий знаменатель $72$: $\frac{7}{8} = \frac{63}{72}$, $\frac{8}{9} = \frac{64}{72}$. Так как $63 < 64$, получаем $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$.

2. Вычитание. Находим знак разности $a - b$: если $a - b > 0$, то $a > b$; если $a - b < 0$, то $a < b$.

Пример. Сравним $\frac{3}{4}$ и $\frac{7}{9}$. Разность: $\frac{3}{4} - \frac{7}{9} = \frac{27 - 28}{36} = -\frac{1}{36} < 0$. Значит, $\frac{3}{4} < \frac{7}{9}$.

3. Возведение в квадрат. Работает только если обе части неотрицательны: тогда из $a^2 < b^2$ следует $a < b$. Приём удобен для сравнения корней.

Пример. Сравним $\sqrt{48}$ и $7$. Оба числа положительны, возводим в квадрат: $48$ и $49$. Так как $48 < 49$, получаем $\sqrt{48} < 7$.

Более сложный пример: сравним $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{10}$. Возводим в квадрат обе (положительные!) части:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 2 + 3 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}, \qquad (\sqrt{10})^2 = 10$

Осталось сравнить $2\sqrt{6}$ и $5$. Снова возводим в квадрат (оба положительны): $4 \cdot 6 = 24$ и $25$. Так как $24 < 25$, то $2\sqrt{6} < 5$, значит $5 + 2\sqrt{6} < 10$, и потому $\sqrt{2}+\sqrt{3} < \sqrt{10}$.

Важно: возводить в квадрат обе части неравенства нельзя, если хотя бы одна часть отрицательна — знак может нарушиться. Например, $-5 < 2$, но $(-5)^2 = 25 > 2^2 = 4$.

Оценка суммы, разности и произведения

Если известны границы двух чисел, можно оценить границы выражений с ними — без знания точных значений.

Пусть $2 \le a \le 3$ и $1 \le b \le 4$ (оба числа положительны). Тогда:

• Сумма: складываем меньшие и складываем большие границы: $2+1 \le a+b \le 3+4$, то есть $3 \le a+b \le 7$.
• Разность: от меньшей границы $a$ отнимаем большую границу $b$, а от большей границы $a$ — меньшую границу $b$: $2-4 \le a-b \le 3-1$, то есть $-2 \le a-b \le 2$.
• Произведение: так как оба числа положительны, перемножаем меньшие и перемножаем большие границы: $2 \cdot 1 \le ab \le 3 \cdot 4$, то есть $2 \le ab \le 12$.

ОРТ-совет: для разности всегда берите крайние значения «крест-накрест» (мин минус макс, макс минус мин) — прямое вычитание границ ($3-1$ и $2-4$ подряд) даёт неверный ответ.

Свойства верных неравенств

Эти свойства позволяют работать с неравенствами, не зная точных чисел:

• Прибавление числа: к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число, знак не меняется: если $a < b$, то $a+c < b+c$ при любом $c$.
• Умножение на положительное число: знак сохраняется: если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$.
• Умножение на отрицательное число: знак меняется на противоположный: если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$.
• Сложение неравенств одного знака: если $a < b$ и $c < d$, то $a+c < b+d$.
• Умножение неравенств одного знака (с положительными частями): если $0 < a < b$ и $0 < c < d$, то $ac < bd$.

Нельзя почленно вычитать или делить неравенства одного знака — это частая ошибка. Например, из $3 < 5$ и $1 < 4$ нельзя получить $3-1 < 5-4$ (это неверно: $2 > 1$).

ОРТ-совет

• Для сравнения дробей быстрее всего работает правило «крест-накрест»: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ (при положительных знаменателях) сравниваются как $a \cdot d$ и $c \cdot b$ — не нужно искать общий знаменатель полностью.
• Возводить в квадрат для сравнения корней можно только когда уверены, что обе части положительны — сначала проверьте знак.
• В задачах на оценку суммы/разности/произведения всегда подставляйте именно граничные значения, а не «средние» — ответ почти всегда достигается на краях диапазона.