Линейные неравенства

Что такое линейное неравенство

Линейное неравенство — это неравенство вида $ax + b > cx + d$ (или $<, \ge, \le$), где переменная $x$ входит только в первой степени. Решить неравенство — значит найти все значения $x$, при которых оно верно. В отличие от уравнения, ответом обычно служит не одно число, а целый промежуток чисел.

Свойства неравенств: главная ловушка ОРТ

Неравенства преобразуются почти как уравнения, но с одним критически важным исключением:

• К обеим частям неравенства можно прибавить (или отнять) одно и то же число — знак неравенства не меняется.
• Обе части можно умножить или разделить на положительное число — знак не меняется.
• Если обе части умножить или разделить на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный!

Пример. Возьмём верное неравенство $3 < 5$. Умножим обе части на $-2$: получаем $-6$ и $-10$. Но $-6 > -10$, а не $-6 < -10$. Значит, знак пришлось поменять: $-6 > -10$.

Это правило — источник большинства ошибок на ОРТ. Каждый раз, когда вы делите или умножаете неравенство на число, спрашивайте себя: «это число отрицательное?» — если да, разворачивайте знак.

Решение неравенства вида $ax+b > cx+d$

Алгоритм такой же, как при решении линейного уравнения: переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, числа — в другую, затем делим.

Пример. Решим $-3x + 1 > 10$.

$-3x > 10 - 1 = 9$

Делим обе части на $-3$ — число отрицательное, поэтому знак меняется:

$x < -3$

Проверка: при $x=-4$ имеем $-3\cdot(-4)+1 = 13 > 10$ — верно. При $x=-3$ получаем $10 > 10$ — неверно, значит $x=-3$ в решение не входит.

Числовая прямая и запись интервалами

Решение неравенства удобно изображать на числовой прямой:

• Пустой (незакрашенный) кружок — точка не входит в решение (строгое неравенство $<$ или $>$).
• Закрашенный кружок — точка входит в решение (нестрогое неравенство $\le$ или $\ge$).
• От нужной точки решение закрашивается стрелкой в сторону всех подходящих чисел.

Та же идея записывается через интервалы: круглая скобка $($ или $)$ — точка не включена, квадратная $[$ или $]$ — включена. Бесконечность всегда идёт со скобкой $($ или $)$, никогда с квадратной. Например, решение $x < -3$ записывается как $(-\infty; -3)$, а решение $x \ge -2$ — как $[-2; +\infty)$.

Двойные неравенства

Двойное неравенство вида $-2 < 3x+1 \le 7$ означает, что выполняются сразу оба условия. Решать его удобно, действуя со всеми тремя частями одновременно.

Пример. Решим $-2 < 3x+1 \le 7$.

Вычтем $1$ из всех трёх частей:

$-3 < 3x \le 6$

Разделим на $3$ (число положительное, знаки не меняются):

$-1 < x \le 2$

Ответ: $x \in (-1; 2]$. На числовой прямой: точка $-1$ — пустой кружок, точка $2$ — закрашенный, между ними всё закрашено.

ОРТ-совет: наименьшее и наибольшее целое решение

Частый вопрос ОРТ звучит так: «Найдите наименьшее (или наибольшее) целое решение неравенства». Здесь важно не перепутать направление и не ошибиться с границей.

Для решения $x \in (-1; 2]$ из примера выше:

• Наибольшее целое решение — это $2$, так как точка $2$ включена (закрашенный кружок).
• Наименьшее целое решение — это $0$: число $-1$ не подходит (кружок пустой, $-1$ не входит в промежуток), а следующее целое число после $-1$ — это $0$.

Правило простое: смотрите, включена граница или нет, и двигайтесь по числовой прямой к ближайшему целому числу внутри промежутка. Не забывайте: если по пути пришлось делить на отрицательное число, границы интервала могли поменяться местами — перепроверьте направление знака в самом конце решения.