Обыкновенные дроби

Что такое обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель (сколько частей взяли), а $b$ — знаменатель (на сколько равных частей разделили целое). Знаменатель не может быть равен нулю.

Дробная черта означает деление: $\frac{a}{b} = a : b$. Например, $\frac{3}{4}$ — это три четверти пирога или результат деления $3 : 4$.

Дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя ($\frac{3}{7}$), и неправильной, если числитель больше знаменателя или равен ему ($\frac{9}{4}$, $\frac{5}{5}$). Правильная дробь всегда меньше единицы, неправильная — больше единицы или равна ей.

Основное свойство и сокращение дробей

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Быстрее всего делить сразу на НОД.

Пример. $\frac{36}{48}$: НОД$(36, 48) = 12$, поэтому $\frac{36}{48} = \frac{36 : 12}{48 : 12} = \frac{3}{4}$.

Приведение к общему знаменателю

Чтобы складывать, вычитать и сравнивать дроби, их приводят к общему знаменателю — обычно к НОК знаменателей.

Пример. Для $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$: НОК$(6, 8) = 24$, значит

$\frac{5}{6} = \frac{20}{24}, \qquad \frac{3}{8} = \frac{9}{24}$

Сравнение дробей

• При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой числитель больше.
• При одинаковых числителях больше та дробь, у которой знаменатель меньше: $\frac{3}{5} > \frac{3}{8}$.
• В общем случае используйте перекрёстное умножение: сравнивая $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, сравните произведения $a \cdot d$ и $c \cdot b$.

Пример. $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{9}$: сравниваем $5 \cdot 9 = 45$ и $7 \cdot 7 = 49$. Так как $45 < 49$, то $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.

Сложение и вычитание

Приводим дроби к общему знаменателю, затем складываем или вычитаем числители:

$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$

Смешанные числа удобно складывать по частям: отдельно целые части, отдельно дробные. Например, $2\frac{1}{5} + 3\frac{2}{5} = 5\frac{3}{5}$.

Типичная ошибка — складывать числители и знаменатели по отдельности: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \neq \frac{3}{7}$. Так делать нельзя.

Умножение и деление

Умножение — самое простое действие: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Перед умножением сокращайте «крест-накрест»:

$\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8} = \frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

Деление — умножение на перевёрнутую (обратную) дробь:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Пример. $\frac{3}{5} : \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.

Смешанные числа

Смешанное число — это сумма целой части и правильной дроби: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$.

Из неправильной дроби в смешанное число: делим числитель на знаменатель с остатком. Частное — целая часть, остаток — новый числитель.

$\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}, \quad \text{так как } 23 = 6 \cdot 3 + 5$

Из смешанного числа в неправильную дробь: целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.

$2\frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

При умножении и делении смешанные числа обязательно переводят в неправильные дроби:

$2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{7} = \frac{7}{3} \cdot \frac{8}{7} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

ОРТ-совет

На ОРТ время дороже всего, поэтому:

• Сокращайте до умножения, а не после. Дробь $\frac{4}{9} \cdot \frac{15}{8}$ проще сократить крест-накрест сразу, чем возиться с $\frac{60}{72}$.
• Сравнивайте дроби перекрёстным умножением — это быстрее, чем искать общий знаменатель.
• Сравнивайте с «эталоном» $\frac{1}{2}$ или $1$. Например, $\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$, а $\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$ — уже понятно, какая больше, без всяких вычислений.