Рациональные числа и модуль

Целые и рациональные числа

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$

Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое, а $q$ — натуральное число.

Рациональными являются: все целые числа ($5 = \frac{5}{1}$), обыкновенные дроби ($-\frac{2}{3}$), конечные десятичные дроби ($0{,}25 = \frac{1}{4}$) и бесконечные периодические дроби ($0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$).

Координатная прямая

Координатная прямая — это прямая с началом отсчёта (точка $0$), направлением и единичным отрезком. Положительные числа лежат правее нуля, отрицательные — левее.

Главное правило: из двух чисел больше то, которое на прямой расположено правее. Поэтому любое положительное число больше любого отрицательного, а ноль больше любого отрицательного числа.

Сравнение отрицательных чисел

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Пример. Сравним $-\frac{3}{4}$ и $-\frac{4}{5}$. Приведём к общему знаменателю: $-\frac{15}{20}$ и $-\frac{16}{20}$. Так как $\frac{15}{20} < \frac{16}{20}$, получаем $-\frac{3}{4} > -\frac{4}{5}$.

Действия с отрицательными числами

Сложение:

• числа одного знака: складываем модули, знак сохраняем: $-5 + (-3) = -8$;
• числа разных знаков: из большего модуля вычитаем меньший, знак берём у числа с большим модулем: $-9 + 4 = -5$.

Вычитание заменяем сложением с противоположным числом: $7 - (-2) = 7 + 2 = 9$

Умножение и деление — правило знаков:

• $(+) \cdot (+) = (+)$, а также $(-) \cdot (-) = (+)$ — одинаковые знаки дают плюс;
• $(+) \cdot (-) = (-)$, а также $(-) \cdot (+) = (-)$ — разные знаки дают минус.

Пример. $(-6) \cdot (-4) = 24$, но $(-6) \cdot 4 = -24$. Аналогично $\frac{-18}{-3} = 6$, а $\frac{18}{-3} = -6$.

Модуль числа

Модуль числа $a$ — это само число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Геометрический смысл: $|a|$ — это расстояние от точки $a$ до нуля на координатной прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен.

Свойства модуля:

• $|a| \ge 0$ для любого $a$;
• $|-a| = |a|$ — противоположные числа имеют равные модули;
• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$;
• $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ при $b \ne 0$.

Пример. Вычислим $|{-}7| + |3| - |{-}10| = 7 + 3 - 10 = 0$.

Уравнения с модулем

Уравнение $|x| = a$ решается по трём случаям:

• если $a > 0$ — два корня: $x = a$ и $x = -a$;
• если $a = 0$ — один корень: $x = 0$;
• если $a < 0$ — корней нет (модуль не бывает отрицательным).

Пример. Решим $|x - 3| = 7$. Расстояние от $x$ до $3$ равно $7$, значит: $x - 3 = 7 \quad \text{или} \quad x - 3 = -7$ Отсюда $x = 10$ или $x = -4$. Ответ: $x = 10$; $x = -4$.

ОРТ-совет. Самые частые ловушки в заданиях с отрицательными числами — потерянный знак. Помните: минус на минус даёт плюс только при умножении и делении, а при сложении $-5 + (-3) = -8$, а не $+8$. И проверяйте уравнение $|x| = a$: если справа отрицательное число, ответ сразу «корней нет» — не тратьте время на вычисления.