Четырёхугольники и их площади

Сумма углов четырёхугольника

Любой выпуклый четырёхугольник можно разбить диагональю на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна $180°$, поэтому сумма углов четырёхугольника:

$180° + 180° = 360°$

Это верно для любого четырёхугольника — прямоугольника, ромба, параллелограмма и трапеции.

Прямоугольник

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые ($90°$), а противоположные стороны равны и параллельны. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть стороны равны $a$ и $b$. Тогда:

$P = 2(a+b), \qquad S = a \cdot b, \qquad d = \sqrt{a^2+b^2}$

Пример. Стороны $6$ см и $8$ см: $P = 2(6+8) = 28$ см, $S = 6 \cdot 8 = 48$ см², $d = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Квадрат

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делят его углы пополам.

$P = 4a, \qquad S = a^2, \qquad d = a\sqrt{2}$

Пример. Сторона $5$ см: $P = 20$ см, $S = 25$ см², $d = 5\sqrt{2}$ см.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны, противоположные углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам (но, в отличие от прямоугольника, они не обязательно равны).

$P = 2(a+b), \qquad S = a \cdot h_a$

где $h_a$ — высота, проведённая к стороне $a$.

Пример. Сторона $a = 10$ см, высота к ней $h_a = 4$ см: $S = 10 \cdot 4 = 40$ см².

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы ромба пополам.

$P = 4a, \qquad S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, \qquad S = a \cdot h$

Так как диагонали перпендикулярны и делятся пополам, половинки диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник: $a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$.

Пример. Диагонали $6$ см и $8$ см: половинки диагоналей — $3$ см и $4$ см, сторона $a = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ см. Площадь $S = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$ см².

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара сторон параллельна (их называют основаниями, $a$ и $b$), а вторая пара сторон — боковые стороны.

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме:

$m = \frac{a+b}{2}$

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h$

Пример. Основания $7$ см и $13$ см, высота $4$ см: $m = \dfrac{7+13}{2} = 10$ см, $S = 10 \cdot 4 = 40$ см².

Составные фигуры

Если из прямоугольника вырезан меньший прямоугольник или квадрат (например, срезан угол), площадь оставшейся фигуры находится вычитанием: $S = S_{\text{большой}} - S_{\text{вырезанной части}}$. Периметр при этом менять напрямую нельзя — его нужно пересчитывать по новым сторонам фигуры.

ОРТ-совет

На ОРТ калькулятор не используется, поэтому диагонали прямоугольников и ромбов почти всегда подобраны так, чтобы под корнем получался точный квадрат. Держите в памяти пифагоровы тройки: $3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $9$-$12$-$15$, $7$-$24$-$25$. Если половинки диагоналей ромба или стороны прямоугольника совпадают с такой тройкой (даже в увеличенном виде, например $6$ и $8$ вместо $3$ и $4$), ответ найдётся мгновенно — без долгого вычисления корня.