Окружность и круг

Радиус, диаметр и хорда

Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки — центра $O$. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью (сама окружность плюс её внутренняя область).

Радиус $R$ — отрезок, соединяющий центр с точкой окружности (и его длина).

Диаметр $d$ — хорда, проходящая через центр. Диаметр в два раза длиннее радиуса:

$d = 2R$

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — самая длинная из всех хорд.

Полезный факт. Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам. Радиус, половина хорды и расстояние от центра до хорды образуют прямоугольный треугольник — здесь работает теорема Пифагора.

Пример. Хорда окружности радиуса $R=13$ находится на расстоянии $5$ от центра. Половина хорды: $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$, значит вся хорда равна $24$.

Длина окружности и площадь круга

$C = 2\pi R = \pi d, \qquad S = \pi R^2$

Важно для ОРТ: ответ оставляют с $\pi$, не заменяя его на $3{,}14$. Если по формуле получилось $18\pi$ — это и есть окончательный ответ, умножать на $3{,}14$ не нужно (и не нужен калькулятор).

Пример. Радиус $R=9$: длина окружности $C=2\pi\cdot 9=18\pi$. Диаметр $d=16$: тогда $R=8$, площадь $S=\pi\cdot 8^2=64\pi$.

Центральный и вписанный угол

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности; он равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого — хорды.

Главная теорема: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$

Отсюда следствие: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Пример. Центральный угол $\angle AOB = 80°$. Тогда вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на ту же дугу $AB$ (вершина $C$ лежит на большей дуге), равен $80°:2=40°$.

Обратите внимание на направление зависимости: центральный угол всегда вдвое больше вписанного, а не наоборот. Частая ошибка на ОРТ — перепутать, что удваивать, а что делить пополам; проверяйте себя вопросом «какой из двух углов стоит в вершине окружности, а какой — в центре?».

Угол, опирающийся на диаметр

Если хорда — это диаметр, то дуга, на которую опирается вписанный угол, равна половине окружности, то есть $180°$. По главной теореме:

$\angle ACB = \frac{180°}{2} = 90°$

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Это очень удобно: если в треугольнике, вписанном в окружность, одна сторона — диаметр, то угол напротив неё равен $90°$, а два оставшихся угла в сумме дают $90°$.

Касательная перпендикулярна радиусу

Касательная — прямая, у которой с окружностью ровно одна общая точка (точка касания). Ключевое свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Благодаря этому задачи про касательную сводятся к прямоугольному треугольнику: если известны радиус $OT$ и отрезок касательной $PT$, расстояние от внешней точки $P$ до центра $O$ находится по теореме Пифагора.

Пример. $OT=8$, $PT=15$ — катеты прямого угла при точке касания $T$. Тогда

$OP = \sqrt{8^2+15^2} = \sqrt{289} = 17$

ОРТ-совет

Держите в памяти «круглые» пифагоровы тройки: $3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$. Задачи про хорды и касательные почти всегда построены на них, и корень извлекается устно, без калькулятора. И главное правило: если по формуле длины окружности или площади круга получился ответ с $\pi$ — оставляйте его в этом виде, не переводите в десятичную дробь.

Ещё один частый источник ошибок — путаница между окружностью (линией, для которой считают длину $C=2\pi R$) и кругом (плоской фигурой, для которой считают площадь $S=\pi R^2$). Перед тем как подставлять числа в формулу, чётко определите, что именно спрашивают: длину или площадь.