Углы и треугольники

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны образуют прямую (противоположные лучи). Сумма смежных углов всегда равна $180°$.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и лежат друг напротив друга, «через точку пересечения». Вертикальные углы всегда равны между собой.

Пример. Один из двух смежных углов на $20°$ больше другого. Пусть меньший угол $x$, тогда $x+(x+20)=180$, откуда $x=80$. Углы равны $80°$ и $100°$.

При пересечении двух прямых сразу образуются две пары вертикальных углов, поэтому среди четырёх углов встречаются только два разных значения — они чередуются: например, $80°,100°,80°,100°$.

Углы при параллельных прямых и секущей

Когда секущая пересекает две параллельные прямые, образуются три важные пары углов:

• Соответственные углы (одинаковое положение относительно секущей и относительно каждой из параллельных прямых) — равны.
• Накрест лежащие углы (по разные стороны от секущей, между параллельными прямыми) — равны.
• Односторонние углы (по одну сторону от секущей, между параллельными прямыми) — в сумме дают $180°$.

Пример. Секущая образует с одной из параллельных прямых угол $70°$. Тогда накрест лежащий угол при второй прямой тоже равен $70°$, а односторонний с ним угол равен $180°-70°=110°$.

Треугольник: сумма углов и внешний угол

Сумма углов любого треугольника равна $180°$:

$\angle A+\angle B+\angle C=180°$

Внешний угол треугольника (образован продолжением одной из сторон за вершину) равен сумме двух других, несмежных с ним внутренних углов:

$\angle_{\text{внеш}}=\angle A+\angle B$

Виды треугольников

По сторонам: равносторонний (все три стороны равны), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разные).

По углам: остроугольный (все углы меньше $90°$), прямоугольный (один угол равен $90°$), тупоугольный (один угол больше $90°$).

Эти два способа классификации независимы: например, треугольник может быть одновременно равнобедренным и тупоугольным (углы $120°,30°,30°$), а равносторонний треугольник — это всегда остроугольный треугольник, так как все его углы равны $60°$.

Равнобедренный треугольник

В равнобедренном треугольнике углы при основании (они лежат напротив равных боковых сторон) равны между собой.

Пример. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $50°$. Тогда каждый угол при основании равен $\dfrac{180°-50°}{2}=65°$.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$c^2=a^2+b^2$

На ОРТ калькулятор не используется, поэтому полезно помнить готовые «пифагоровы тройки»:

$3\text{-}4\text{-}5,\qquad 6\text{-}8\text{-}10,\qquad 5\text{-}12\text{-}13$

Пример. Катеты равны $9$ и $12$. Это тройка $3$-$4$-$5$, умноженная на $3$, значит гипотенуза $=5\cdot3=15$ — без извлечения корня.

Неравенство треугольника

Треугольник со сторонами $a,b,c$ существует только тогда, когда сумма любых двух его сторон больше третьей:

$a+b>c$

Пример. Можно ли построить треугольник со сторонами $4,5,10$? Проверяем самую длинную сторону: $4+5=9<10$ — нельзя, такой треугольник не существует. А вот стороны $5,12,13$ образуют треугольник ($5+12=17>13$), причём это как раз пифагорова тройка, то есть треугольник ещё и прямоугольный.

На практике достаточно проверить только одно неравенство — то, где к самой длинной стороне прибавляется сравнение с суммой двух других: если оно выполняется, то и остальные два неравенства выполняются автоматически.

Периметр и площадь прямоугольного треугольника

Периметр: $P=a+b+c$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S=\dfrac{a\cdot b}{2}$

Пример. Катеты $6$ и $8$, тогда гипотенуза (тройка $6$-$8$-$10$) равна $10$. Периметр $P=6+8+10=24$, площадь $S=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24$.

ОРТ-совет

Выучите три готовые тройки Пифагора ($3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$) и узнавайте их кратные (например, $9$-$12$-$15$) — это позволяет мгновенно находить гипотенузу или катет без извлечения корня вручную. Также держите в голове короткое правило: внешний угол треугольника равен сумме двух несвязанных с ним внутренних углов — часто это быстрее, чем сначала искать третий угол через $180°$, а потом вычитать его.