Геометрическая прогрессия

Определение и знаменатель прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии:

$b_{n+1} = b_n \cdot q, \qquad q \neq 0$

Первый член обозначают $b_1$. Например, при $b_1 = 3$ и $q = 2$ получаем прогрессию:

$3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48,\ \ldots$

Если $q = \frac{1}{2}$, прогрессия убывает — каждый следующий член вдвое меньше предыдущего:

$64,\ 32,\ 16,\ 8,\ 4,\ \ldots$

Чтобы найти знаменатель, достаточно разделить любой член на предыдущий: $q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}$.

Важно не путать геометрическую прогрессию с арифметической: в арифметической прогрессии соседние члены отличаются на одно и то же слагаемое ($d$), а в геометрической — умножаются на один и тот же множитель ($q$). Чтобы проверить, что последовательность геометрическая, делят каждый член на предыдущий — если частное всюду одинаковое, прогрессия геометрическая.

Формула n-го члена

Раз каждый следующий член получается умножением на $q$, то после $n-1$ таких умножений:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Пример. Дано $b_1 = 3$, $q = 2$. Найдите $b_6$.

$b_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$

Характеристическое свойство

Для любых трёх соседних членов геометрической прогрессии верно:

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

То есть квадрат среднего члена равен произведению соседних — каждый член (кроме крайних) является средним геометрическим соседних членов. Это свойство удобно, когда нужно найти пропущенный член, не зная $q$.

Пример. В прогрессии положительных чисел $b_1 = 4$, $b_3 = 16$. Найдите $b_2$.

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3 = 4 \cdot 16 = 64 \quad\Rightarrow\quad b_2 = \sqrt{64} = 8$

Проверка: $4, 8, 16$ — знаменатель $q = 2$, всё верно.

Сумма первых n членов

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \qquad q \neq 1$

Пример. $b_1 = 1$, $q = 3$. Найдите сумму первых $5$ членов.

$S_5 = \frac{3^5 - 1}{3-1} = \frac{243-1}{2} = \frac{242}{2} = 121$

Проверка вручную: $1+3+9+27+81 = 121$ — сходится.

Задачи на удвоение и деление пополам

Геометрическая прогрессия с $q=2$ описывает удвоение, а с $q=\frac{1}{2}$ — уменьшение вдвое. Такие задачи часто встречаются на ОРТ.

Бактерии. Колония из $50$ бактерий удваивается каждый час. Сколько бактерий будет через $5$ часов?

Здесь $b_1 = 50$ (начальный момент), $q = 2$. Через $5$ часов число бактерий равно $b_6 = b_1 q^5$:

$b_6 = 50 \cdot 2^5 = 50 \cdot 32 = 1600$

Сгибание бумаги. Лист толщиной $0{,}1$ мм сгибают пополам $7$ раз. При каждом сгибании толщина удваивается ($q=2$), поэтому итоговая толщина равна $b_8 = b_1 q^7$:

$b_8 = 0{,}1 \cdot 2^7 = 0{,}1 \cdot 128 = 12{,}8 \text{ мм}$

В обеих задачах важно не ошибиться с номером члена: если $b_1$ — это состояние «до первого удвоения», то после $k$ удвоений получаем член $b_{k+1}$, а не $b_k$.

ОРТ-совет

На ОРТ числа подобраны так, чтобы считать без калькулятора. Держите в голове степени двойки ($2, 4, 8, 16, 32, 64, 128$) и тройки ($3, 9, 27, 81, 243$) — это экономит время при вычислении $q^{n-1}$. Если $q$ дробный (например, $q = \frac12$), проще умножать на $2$ в знаменателе дроби, чем делить столбиком. И всегда проверяйте ответ обратной подстановкой: посчитайте прогрессию по членам вручную и убедитесь, что она сходится с формулой.

Частая ошибка — сбиться с номером члена в формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$: показатель степени всегда на единицу меньше номера члена. Ещё одна типичная ошибка — перепутать формулу суммы геометрической прогрессии с формулой суммы арифметической: у геометрической в формуле участвует степень $q^n$, а не произведение номера члена на разность. Если сомневаетесь в громоздкой формуле, для маленьких $n$ (как на ОРТ) всегда можно просто выписать все члены и сложить их вручную — это надёжнее и часто быстрее.