Числовые закономерности

Что значит «найти закономерность»

В задачах на числовые закономерности дан ряд чисел, и нужно понять правило, по которому получен каждый следующий член, а затем продолжить ряд. Правило всегда должно быть простым и единственным — если его можно объяснить в одно-два действия, это и есть верный ответ. Проверять стоит несколько типовых приёмов по очереди.

Разности между членами

Сначала смотрим, не одинакова ли разность между соседними членами (тогда это арифметическая прогрессия), а если нет — не растёт ли сама разность по простому правилу.

Классический пример ОРТ. Дана последовательность:

$2, \ 6, \ 12, \ 20, \ \ldots$

Найдём разности: $6-2=4$, $12-6=6$, $20-12=8$. Разности сами образуют ряд $4, 6, 8, \ldots$ — растут на $2$ на каждом шаге. Значит, следующая разность равна $10$, и следующий член:

$20 + 10 = 30$

Заметим и более глубокую закономерность: $2 = 1\cdot2$, $6=2\cdot3$, $12=3\cdot4$, $20=4\cdot5$ — каждый член равен $n(n+1)$. Тогда пятый член сразу считается как $5\cdot6=30$ — тот же ответ, но без выписывания разностей.

Отношения между членами

Если разности не помогают, стоит проверить отношение соседних членов — вдруг каждый следующий получается умножением предыдущего на одно и то же число.

Пример. $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ \ldots$ Здесь $6:3=2$, $12:6=2$, $24:12=2$ — отношение постоянно равно $2$, значит следующий член: $24 \cdot 2 = 48$.

Чередование знаков

Если числа поочерёдно меняют знак, обычно всё та же геометрическая закономерность, только множитель отрицательный.

Пример. $5, \ -10, \ 20, \ -40, \ \ldots$ Отношение каждого члена к предыдущему равно $-2$: $-10:5=-2$, $20:(-10)=-2$. Следующий член: $-40 \cdot (-2) = 80$.

Квадраты, кубы и другие степени

Иногда члены последовательности — это точные квадраты или кубы натуральных чисел, и нужно просто узнать их «в лицо».

Пример. $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ \ldots$ — это кубы: $1^3, 2^3, 3^3, 4^3$. Следующий член: $5^3 = 125$.

Фигурные числа

Фигурные числа — это числа, которые можно представить в виде точек, выложенных фигурой (треугольником, квадратом). Самые частые на ОРТ — треугольные числа:

$T_n = \frac{n(n+1)}{2}: \quad 1, \ 3, \ 6, \ 10, \ 15, \ 21, \ \ldots$

Разности между ними — это просто натуральные числа $2, 3, 4, 5, \ldots$, растущие на $1$. Квадратные числа $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ — тоже фигурные, это разности $3, 5, 7, 9, \ldots$ (нечётные числа).

Комбинированные правила

Иногда закономерность «двухэтажная»: сами разности растут не на постоянное число, а по своему правилу — например, удваиваются.

Пример. $3, \ 4, \ 6, \ 10, \ 18, \ \ldots$ Разности: $1, 2, 4, 8$ — каждая следующая вдвое больше предыдущей. Значит, следующая разность $16$, и следующий член: $18+16=34$.

ОРТ-совет

Порядок проверки на экзамене: сначала разности (постоянны? растут на постоянное число?), затем отношения (постоянны?), затем — не квадраты/кубы ли это, не треугольные ли числа. Если простое правило нашлось и оно однозначно продолжает ряд — это и есть ответ, дальше можно не искать. Обязательно проверяйте правило на всех данных членах, а не только на первых двух: правило, которое «почти подходит», но ломается на третьем-четвёртом члене, неверно.